命題９
「円の内部に点がとられ、その点から円に２つ以上の等しい線分がひかれるならば、とられた点は円の中心である。」
円ＡＢＣの内部の点をＤとし、Ｄから２つ以上の等しい線分、すなわちＤＡ、ＤＢ、ＤＣが円ＡＢＣにひかれたとせよ。
点Ｄは円ＡＢＣの中心であることをいう。
ＡＢとＢＣを結び、それらをＥ、Ｆで２等分しなさい。ＥＤ、ＦＤを結び、点Ｇ、Ｋ、Ｈ、Ｌまで延長しなさい。
そのとき、ＡＥはＥＢと等しく、ＥＤは共通なので、２辺ＡＥ、ＥＤは２辺ＢＥ、ＥＤと等しく、底辺ＤＡは底辺ＤＢと等しいので、角ＡＥＤは角ＢＥＤと等しい。命題Ⅰ．８
それゆえ、角ＡＥＤ、ＢＥＤはそれぞれ直角である。それゆえ、ＧＫはＡＢを直角に２等分する。定義Ⅰ．10
そして、円で直線が直線を直角に２等分するならば、円の中心は分割する直線上にあるので、円の中心はＧＫ上にある。系Ⅲ．１
同様な理由で、円ＡＢＣの中心はまたＨＬ上にある。
そして、線分ＧＫ、ＨＬは点Ｄ以外共通な点をもたない。それゆえ、点Ｄは円ＡＢＣの中心である。
それゆえ、円の内部に点がとられ、その点から円に２つ以上の等しい線分がひかれるならば、とられた点は円の中心である。
証明終了