命題１９

 

 

全体が全体に対すると同じように引かれた部分が引かれた部分に対するならば、余りが余りに対すると同じように全体が全体に対する。

　

全体ABを全体CDに対し同じように引かれた部分AEは引かれた部分CFに対するとする。

 

余りEBはまた余りFDに対し同じように全体ABは全体CDに対することをいう。

 

ABはCDに対し同じようにAEはCFに対するから、それゆえに交互に、BAはAEに対し同じようにDCはCFに対する。proposition�X．１６

 

そして、量が共に取られて比例するから、それらはまた分けて取られても比例する。つまりBEはEAに対し同じようにDFはCFに対し、そして交互に、BEはDFに対し同じようにEAはFCに対する。proposition�X．１７、proposition�X．１６

 

しかし、仮定により、AEはCFに対し同じように全体ABは全体CDに対する。

 

それゆえに余りEBはまた余りFDに対し同じように全体FDに対し同じように全体CDに対する。proposition�X．１１

 

それゆえに、全体が全体に対すると同じように引かれた部分が引かれた部分に対するならば、余りが余りに対すると同じように全体が全体に対する。

 

証明終了

 

 

 

系

 

これから、量が共に取られて比例するならば、それらはまた転換して比例する、ことが明らかである。definition�X．１６

 

 

 

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