命題２
直線が三角形の１辺に平行に引かれるならば、それは三角形の２辺を比例するように分ける。三角形の２辺が比例するように分けられるならば、切り取られた部分の点を結ぶ線は三角形の残りの１辺に平行である。
DEをBCと平行に引き、⊿ABCの辺の１つとする。
BDがADに対し同じようにCEはAEに対することをいう。
BEとCDを結ぶ。
⊿BDEと⊿CDEが同じ平行線DEとBCにおいて同じ底辺DE上にあるため、それゆえに⊿BDEは⊿CDEと等しい。propositionⅠ．３７
そしてADEは他の三角形である。
しかし等しい三角形は同じ三角形に対して同じ比を持ち、それゆえに⊿BDEは⊿ADEに対し同じように⊿CDEは⊿ADEに対する。propositionⅤ．７
しかし同じ高さのもとで、EからABに引かれた垂線のために、⊿BDEは⊿ADEに対し同じようにBDはADに対し、それらは底辺に関して互いに比例している。propositionⅥ．１
同じ理由で、⊿CDEは⊿ADEに対し同じようにCEはAEに対する。
それゆえにBDはADに対し同じようにCEはAEに対する。propositionⅤ．１１
―
次に、⊿ABCの辺ABとACを比例して切り取る。つまりBDはADに対し同じようにCEはAEに対するとする。DEを結ぶ。
DEがBCと平行であることを言う。
同じ作図で、BDがADに対し同じようにCEがAEに対するから、しかしBDはADに対し同じように⊿BDEは⊿ADEに対し、そしてCEはAEに対し同じように⊿CDEは⊿ADEに対し、それゆえに⊿BDEは⊿ADEに対し同じように⊿CDEは⊿ADEに対する。propositionⅥ．１、propositionⅤ．１１
それゆえに⊿BDEと⊿CDEのそれぞれは⊿ADEに対し同じ比を持つ。
それゆえに⊿BDEは⊿CDEと等しく、そしてそれらは同じ底辺DEの上にある。propositionⅤ．９
しかし同じ底辺の上にある等しい三角形はまた同じ底辺の上で平行線の間にある。propositionⅠ．３９
それゆえにDEはBCと平行である。
それゆえに、直線が三角形の１辺に平行に引かれるならば、それは三角形の２辺を比例するように分ける。三角形の２辺が比例するように分けられるならば、切り取られた部分の点を結ぶ線は三角形の残りの１辺に平行である。
証明終了