命題１
同じ高さの下にある三角形と平行四辺形は、互いに対してそれらの底辺と比例する。
ABCとACDを三角形、CEとCFを高さが同じ平行四辺形とせよ。
底辺CBは、底辺CDに対し、三角形ACBは三角形ACDに対し、また、平行四辺形CEは平行四辺形CFに対すると主張する。
BDの両方向に点HとLを作る。
任意個の直線BGとGHは底辺CBに等しく、任意個の直線DKとKLをCDに等しくなるように作る。propositionⅠ．３
AG、AH、AK、ALを結ぶ。
そのとき、CB、BG、GHは互いに等しいので、三角形ACB、ABG、AGHもまたそれぞれ等しい。propositionⅠ．３８
それゆえに、底辺CHは底辺CBのどのような倍量でも、三角形ACHもまた三角形ACBの同じ倍量である。
同じ理由で、底辺CLは底辺CDのどのような倍量でも、三角形ACLもまた三角形ACDの同じ倍量である。
そして、もし、底辺CHが底辺CLに等しければ、三角形ACHもまた三角形ACLに等しく、もし、底辺CHが底辺CLの超過ならば、三角形ACHもまた三角形ACLの超過で、もし、小さければ小さい。propositionⅠ．３８
このように、４つの量が、すなわち、２つの底辺CBとCDと２つの三角形ACBとACDがあって、底辺CBと三角形ACBの同倍量、つまり底辺CHと三角形ACHがとられ、底辺CDと三角形ADCの他の任意の同倍量、つまり底辺CLと三角形ACLがとられ、、もし、底辺CHが底辺CLの超過ならば、三角形ACHもまた三角形ACLの超過で、等しければ、等しく、小さければ小さいことは証明されている。それゆえ、底辺CBは底辺CDに対して、三角形ACBは三角形ACDに対する。definitionⅤ．５
次に、平行四辺形CEは三角形ACBの２倍で、平行四辺形FCは三角形ACDの２倍で、部分はそれらの同倍量と同じ比をもつので、それゆえに、三角形ACBは三角形ACDに対し、平行四辺形CEは平行四辺形FCに対する。propositionⅠ．４１、definitionⅤ．１５
また、底辺CBは底辺CDに対して、三角形ACBは三角形ACDに対する。
また、三角形ACBは三角形ACDに対し、平行四辺形CEは平行四辺形FCに対することは証明されている。propositionⅤ．１１
それゆえに、底辺CBは底辺CDに対して、平行四辺形CEは平行四辺形FCに対する。
それゆえに、同じ高さの下にある三角形と平行四辺形は、互いに対してそれらの底辺と比例する。
証明終了