命題３

　三角形の１つの角が底辺を切っている直線で二等分されるならば、底辺の線分は、三角形の残りの辺と同じ比を持ち、また、底辺の線分が三角形の残りの辺と同じ比を持つならば、頂点と区分する点を結ぶ直線は三角形の角を二等分する。

　ABCを三角形とし、角BACを直線ADによって二等分されるとせよ。

　DBはDCに対し、ABはACに対すると主張する。

　Cを通りDAに平行なCEをひき、ABをEで交わるようにひく。proposition�T．３１

　そうすると、直線ACは平行線ADとECと交わるから、角ACEは角CADに等しい。proposition�T．２９

　しかし、仮定より角CADは角BADと等しく、それゆえに、角BADもまた角ACEに等しい。

　また、直線BAEは平行線ADとECと交わるから、外角BADは内角AECに等しくなる。proposition�T．２９

　しかし、角ACEもまた角BADに等しいことは証明されている。

　それゆえに、角ACEもまた角AECに等しい。そのため、辺AEもまた辺ACに等しい。proposition�T．６

　また、ADは三角形BCEの１つの辺ECに平行なので、それゆえに、比例してDBはDCに対し、ABはAEに対する。proposition�Y．２

　しかし、AEはACに等しい。

　それゆえに、DBはDCに対し、ABはACに対する。proposition�X．７

　次に、DBをDCに対し、ABはACに対するとせよ。

　ADを結ぶ。

　直線ADは角BAＣを二等分すると主張する。

　同じ作図があれば、DBはDCに対し、ABはACに対し、また、ADは三角形BCEの１つの辺ECに平行から、DBはDCに対し、ABはAEに対するので、それゆえに、ABはACに対し、ABはAEに対する。proposition�Y．２、proposition�X．１１

　それゆえに、ABはACに対し、ABはAEに対する。

　それゆえに、ACはAEと等しく、そのため、角AECもまた角ACEに等しい。proposition�X．９、proposition�T．５

　しかし、角AECは外角BADに等しく、角ACEは錯角CADに等しい。

　それゆえに、角BADもまた角CADに等しい。proposition�T．２９

　それゆえに、直線ADは、角BACを二等分する。

証明終了

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