命題６

 

 

２つの三角形が１つの角と等しい１つの角を持ち、等しい角のまわりの辺が比例しているならば、三角形は対応する角が等しく、対応する辺に対する等しい角をもつ。

 

��ABC､��DEFを１つの∠BACが１つの∠EDFと等しく等しい角のまわりの辺は比例している２つの三角形とする。つまりBAがACに対し同じようにEDがDFに対する。

 

��ABCが��DEFと対応する角が等しく、∠ABCが∠DEFと等しく、∠ACBが∠DFEと等しいことをいう。

 

直線DFとその上にある点DとFにおいて、∠FDGが∠BACか∠EDFのどちらかと等しく、そして∠DFGが∠ACBと等しくなるように作る。proposition�T．２３

 

それゆえに余りの∠Bは余りの∠Gと等しい。それゆえに��ABCは��DGFと対応する角が等しい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　proposition�T．３２

 

それゆえに、比例してBAはACに対し同じようにGDはDFに対する。proposition�Y．４

 

しかし、仮定より、BAはACに対しまた同じようにEDはDFに対し、それゆえにまたEDはDFに対し同じようにGDはDFに対する。proposition�X．１１

 

それゆえにEDはGDと等しい。そしてDFは共通であり、それゆえに２つの辺EDとDFは２つの辺GDとDFと等しく、そして∠EDFは∠GDFと等しく、それゆえに底辺EFは底辺GFと等しく、��DEFは��DGFと等しく、そして余りの角は余りの角と等しく、一般的に等しい角はそれらに対応する。　　　　　　　　　　　　proposition�X．９、proposition�T．４

 

それゆえに∠DFGは∠DFEと等しく、そして∠DGFは∠DEFと等しい。

 

しかし∠DFGは∠ACBと等しく、それゆえに∠ACBはまた∠DFEと等しい。

 

そして、仮定によって、∠BACはまた∠EDFと等しく、それゆえに余りの∠Bもまた余りの∠Eと等しい。それゆえに��ABCは��DEFと対応する角が等しい。proposition�T．３２

 

それゆえに、２つの三角形が１つの角と等しい１つの角を持ち、等しい角のまわりの辺が比例しているならば、三角形は対応する角が等しく、対応する辺に対する等しい角をもつ。

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　証明終了

 

 

 

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