命題７

　もし２つの三角形が１つの角が１つの角に等しく、他の角のまわりの辺が比例で、残りの角が共に直角より小さいか、共に小さくなければ、三角形は対応する角が等しくて、比例する辺のまわりに等しい角を持っている。

　ABCとDEFを１つの角が１つの角に等しい三角形、つまり、角BACが角EDFに等しく、他の角ABCと角DEFのまわりの辺が比例で、つまり、ABはBCに対してDEはEFに対するとせよ。

　また、まず、CとFにおけるそれぞれの残りの角は直角より小さいとせよ。

　三角形ABCは三角形DEFと対応する角が等しくて、角ABCは角DEFに等しく、残りの角、つまり、Cにおける角は残りの角、つまり、Fにおける角に等しいと主張する。

　もし、角ABCが角DEFと等しくなければ、２つのうちどちらかが大きい。

　角ABCが大きいとせよ。

　直線AB上の点Bで、角ABGを角DEFに等しくなるように作る。proposition�T．２３

　そのとき、角Aは角Dに等しく、角ABGは角DEFに等しいので、それゆえに、残りの角ABGは残りの角DFEに等しい。proposition�T．３２

　それゆえに、三角形ABGは三角形DEFと対応する角が等しい。

　それゆえに、ABはBGに対して、DEはEFに対する。proposition�X．４

　しかし、仮定よりDEはEFに対して、ABはBCに対する。

　それゆえに、ABはそれぞれの直線DCとBGに対し同じ比をもつ。proposition�X．１１

　それゆえに、BCはBGに等しく、つまり、Cにおける角もまた角BGCに等しい。proposition�X．１１、proposition�T．５

　しかし、仮定よりCにおける角は、直角よりも小さい。

　それゆえに、角BGCもまた直角より小さく、つまり、その隣の角AGBは直角より大きい。proposition�T．１３

　そして、それはFにおける角に等しいことは証明されている。

　それゆえに、Fにおける角もまた直角よりも大きい。

　しかし、仮定は直角より小さいより、これは不合理である。

　それゆえに、角ABCは角DEFに不等ではない。

　それゆえに、等しい。

　しかし、Aにおける角もまたDにおける角に等しい。

　それゆえに、残りのCにおける角は残りのFにおける角に等しい。proposition�T．３２

　それゆえに、三角形ABCは三角形DEFと対応する角が等しい。

　次に、CとFにおけるそれぞれの角は、直角より小さくないと仮定されるとせよ。

　この場合でも、再び三角形ABCは三角形DEFと対応する角が等しいと主張する。

　同じ作図があれば、同様にBCはBGに等しく、つまり、Cにおける角もまた角BGCに等しいことが同様に証明できる。proposition�T．５

　しかし、Cにおける角は直角よりも小さくない。それゆえ、角BGCもまた直角より小さくない。

　そこで、三角形BGCにおいて,２角の和は２直角より小さくない。proposition�T．１７

　これは、不可能である。

　それゆえに、もう一度角ABCは角DEFに不等ではない。

　それゆえに、等しい。

　しかし、Aにおける角はDにおける角に等しい。

　それゆえに、残りのCにおける角は残りのFにおける角に等しい。proposition�T．３２

　それゆえに、三角形ABCは三角形DEFと対応する角が等しい。

　それゆえに、もし２つの三角形が１つの角が１つの角に等しく、他の角のまわりの辺が比例で、残りの角が共に直角より小さいか、共に小さくなければ、三角形は対応する角が等しくて、比例する辺のまわりに等しい角を持っている。

証明終了

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