命題１０

　もし１つの数が１つの数の約数たちで、他の数は他の数の同じ約数たちならば、そのとき、いれかえて、第１は第３のどんな約数か約数たちで、第２は第４の同じ約数か約数たちである。

　数ABを数Cの約数たちとし、他の数DEは他の数Fの同じ約数たちであるとせよ。

　いれかえて、CはFの、ABはDEの約数か約数たちと同じ約数か約数たちであると主張する。

　DEはFの約数たちで、ABはCの同じ約数たちなので、それゆえに、FはDEの約数で、CはABの同じだけ約数がある。

　ABをCの約数、つまり、AGとGBに分け、DEをFの約数、つまり、DHとHEに分ける。

　そのとき、AGとGBの個数と、DHとHEの個数は等しい。

　今、DHはFの約数で、AGはCの同じ約数なので、それゆえに、いれかえて、CはFの、AGはDHの約数か約数たちと同じ約数か約数たちである。proposition�Z．９

　同じ理由で、CはFの、BGはHEの約数か約数たちと同じ約数か約数たちであり、つまり、加えて、CはFの、ABはDEの約数か約数たちと同じ約数か約数たちである。proposition�Z．９、proposition�Z．５、proposition�Z．６

　それゆえに、もし１つの数が１つの数の約数たちで、他の数は他の数の同じ約数たちならば、そのとき、いれかえて、第１は第３のどんな約数か約数たちで、第２は第４の同じ約数か約数たちである。

証明終了

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