命題９
ある数がある数の約数であり、他の数が他の数の同じ約数であるならば、入れ替えて、第1の数が第3の数の約数、または約数たちであるか、第2の数が第4の数の同じ約数、または約数たちである。
数Aを数BCの約数とし、AがBCの約数であるように他の数Dを他の数EFの同じ約数とする。
入れ替えて、AがDの約数か約数たちであるようにBCがEFの同じ約数か約数たちであることを言う。
AがBCの約数であるようにDがEFの同じ約数であるから、それゆえにEFのなかにDと等しい数があると同じようにBCのなかにAと等しい数がある。
BCをAと等しい数、つまりBGとGCに分け、EFをDと等しい数、つまりEHとHFに分ける。それからBGとGCの量はEHとHFの量と等しい。
さて、数BGとGCは互いと等しく、そして数EHとHFもまた互いと等しいから、BGとGCの量はEHとHFの量と等しい時、それゆえにBGがEHの約数か約数たちであるようにGCはHFの同じ約数か約数たちである。だから、加えて、BGがEHの約数か約数たちであるように和BCは和EFの同じ約数か約数たちである。propositionⅦ．５、propositionⅦ．６
しかしBGはAと等しく、そしてEHはDと等しく、それゆえにAがDの約数か約数たちであるようにBCはEFの同じ約数か約数たちである。
それゆえに、ある数がある数の約数であり、他の数が他の数の同じ約数であるならば、入れ替えて、第1の数が第3の数の約数、または約数たちであるか、第2の数が第4の数の同じ約数、または約数たちである。
証明終了