命題３３
多くの数が与えられたとき、それらと同じ比を持つ数の最小の数を見つけること。
A、B、Cを与えられた数とする。
A、B、Cと同じ比を持つ数の最小の数を見つけることを必要とする。
A、B、Cは互いに素であるか素でないかのどちらかである。
さて、A、B、Cが互いに素であるならば、それらはそれらと同じ比を持つ最小の数である。propositionⅦ．２１
しかし、そうでないならば、A、B、Cの最大公約数Dを取る。Dが数A、B、Cをそれぞれ割り切ると同じようにE、F、Gに単位があるとする。propositionⅦ．３
それゆえに数E、F、GはDにある単位により数A、B、Cをそれぞれ割り切る。それゆえにE、F、GはA、B、Cを同じ回数で割り切る。それゆえにE、F、GはA、B、Cと同じ比である。propositionⅦ．１６、definitionⅦ．２０
次にそれらがその比である数の最小の数であることをいう。
E、F、GがA、B、Cと同じ比を持つ数の最小の数でないならば、A、B、Cと同じ比であるE、F、Gより小さい数がある。それらをH、K、Lとする。それゆえにHはAを割り切り同じ回数で数KとLは数BとCをそれぞれ割り切る。
HがAを割り切ると同じようにMに単位があるとする。数KとLもまたMにある単位により数BとCをそれぞれ割り切る。
そして、HはMにある単位によりAを割り切るから、それゆえにMもまたHにある単位によりAを割り切る。同じ理由でMもまた数KとLにある単位により数BとCをそれぞれ割り切る。それゆえにMもまたA、B、Cを割り切る。propositionⅦ．１６
さて、HはMにある単位によりAを割り切るから、それゆえにHにMをかけてAを作る。同じ理由でまたEにDをかけてAを作る。definitionⅦ．１５
それゆえにEとDの積はHとMの積と等しい。それゆえにEはHに対し同じようにMはDに対する。propositionⅦ．１９
しかしEはHよりおおきく、それゆえにMもまたDよりおおきい。そしてDがA、B、Cの最大公約数である、仮定のため、MがA、B、Cを割り切ることは、不可能である。
それゆえにA、B、Cと同じ比であるE、F、Gより小さい数はない。それゆえにE、F、GはA、B、Cと同じ比を持つ数の最小の数である。
証明終了