命題３６
３つの与えられた数が割り切る最小の数をみつけること。
A、B、Cを与えられた３つの数とせよ。
それらが割り切る最小の数をみつけることが要求されている。
２つの数AとBによって割り切られる最小の数Dをとる。propositionⅦ．３４
そのとき、CはDを割り切るかそうでないかのどちらかである。
まず、割り切るとせよ。
しかし、AとBもまたDを割り切る。
それゆえに、A、B、CはDを割り切る。
次に、それらが割り切る最小の数であると主張する。
もしそうでなければ、A、B、CはDより小さいある数Eを割り切る。
A、B、CはEを割り切るので、それゆえに、AとBはEを割り切る。propositionⅦ．３５
それゆえに、AとBに割り切られる最小の数もまたEを割り切る。
しかし、DはAとBに割り切られる最小の数で、それゆえに、DはEを割り切り、大きいほうが小さいほうを割り切り、不可能である。
それゆえに、A、B、CはDより小さいすべての数を割り切らない。
それゆえに、Dは、A、B、Cが割り切る最小の数である。
次に、CはDを割り切らないとせよ。
CとDによって割り切られる最小の数Eをとる。propositionⅦ．３４
AとBはDを割り切り、DはEを割り切るので、それゆえに、AとBもまたEを割り切る。
しかし、CもまたEを割り切る。
それゆえに、A、B、CもまたEを割り切る。
次に、それらを割り切る最小の数であると主張する。
もしそうでなければ、A、B、CはEより小さい数Fを割り切る。
A、B、CはFを割り切るので、それゆえに、AとBはFを割り切る。
それゆえに、AとBに割り切られる最小の数もまたFを割り切る。
しかし、DはAとBに割り切られる最小の数である。
それゆえに、DはFを割り切る。
しかし、CもまたFを割り切り、それゆえに、DとCはFを割り切る。propositionⅦ．３５
つまり、DとCによって割り切られる最小の数もまたFを割り切る。
しかし、EはCとDによって割り切られる最小の数であり、それゆえに、EはFを割り切り、大きいほうが小さいほうを割り切り、不可能である。
それゆえに、A、B、CはEより小さいすべての数を割り切らない。
それゆえに、Eは、A、B、Cが割り切る最小の数である。
証明終了