命題１５
「２直線が互いに交わるならば、それらは対頂角を互いに等しくさせる。」
点Ｅで互いに交わる直線をＡＢ、ＣＤとせよ。
角ＣＥＡが角ＤＥＢと等しく、角ＢＥＣが角ＡＥＤと等しいことをいう。
直線ＡＥが角ＣＥＡとＡＥＤをつくっている直線ＣＤの上に立っているので、角ＣＥＡ、ＡＥＤの和は２直角と等しい。命題Ⅰ．13
また、直線ＤＥが角ＡＥＤとＤＥＢをつくっている直線ＡＢの上に立っているので、角ＡＥＤ、ＤＥＢの和は２直角と等しい。命題Ⅰ．13
しかし、角ＣＥＡ、ＡＥＤの和も２直角と等しいことが証明されているので、角ＣＥＡ、ＡＥＤの和は角ＡＥＤ、ＤＥＢの和と等しい。おのおのから角ＡＥＤをひきなさい。そのとき、残りの角ＣＥＡは角ＤＥＢと等しい。公準Ⅰ．４，共通概念Ⅰ．１，共通概念Ⅰ．３
同様にして、角ＢＥＣ、ＡＥＤも等しいことを証明することができる。
それゆえ、２直線が互いに交わるならば、それらは対頂角を互いに等しくさせている。
証明終了
系
このことから、 ２直線が互いに交わるならば、切断点でにおける角は４直角と等しくなる ことがはっきりしている。