命題３４
「平行四辺形で対する辺と角は互いに等しく、直径は平行四辺形を２等分する。」
平行四辺形をＡＣＤＢとし、その直径をＢＣとせよ。
平行四辺形ＡＣＤＢの対する辺と角は互いに等しく、直径ＢＣはそれを２等分することをいう。
ＡＢはＣＤと平行で、直線ＢＣはそれらと交わっているので、錯角ＡＢＣとＢＣＤは互いに等しい。命題Ⅰ．29
また、ＡＣはＢＤと平行で、直線ＢＣはそれらと交わっているので、錯角ＡＣＢとＣＢＤは互いに等しい。命題Ⅰ．29
それゆえ、ＡＢＣとＤＣＢは２つの角ＡＢＣ、ＢＣＡが２つの角ＤＣＢ、ＣＢＤとそれぞれ等しく、１辺が１辺と等しい、すなわち等しい角にはさまれていて、それらのどちらにも共通しているＢＣをもつ２つの三角形である。それゆえ、それらはまた残りの辺は残りの辺とそれぞれ等しく、残りの角は残りの角と等しいことをもつ。それゆえ、ＡＢはＣＤと等しく、ＡＣはＢＤと等しく、さらに角ＢＡＣは角ＣＤＢと等しい。命題Ⅰ．26
角ＡＢＣは角ＢＣＤと等しく、角ＣＢＤは角ＡＣＢと等しいので、角ＡＢＤ全体は角ＡＣＤ全体と等しい。共通概念Ⅰ．２
そして、角ＢＡＣも角ＣＤＢと等しいことが証明されていた。
それゆえ、平行四辺形で、対する辺と角は互いに等しい。
次に、直径はまた平行四辺形を２等分することをいう。
ＡＢはＣＤと等しく、ＢＣは共通なので、２辺ＡＢ、ＢＣは２辺ＤＣ、ＣＢとそれぞれ等しく、角ＡＢＣは角ＢＣＤと等しい。それゆえ、底辺ＡＣも底辺ＤＢと等しく、三角形ＡＢＣは三角形ＤＣＢと等しい。命題Ⅰ．４
それゆえ、直径ＢＣは平行四辺形ＡＣＤＢを２等分する。
それゆえ、平行四辺形で対する辺と角は互いに等しく、対角線は平行四辺形を２等分する。
証明終了