命題３５
「同じ底辺上にあり同じ平行線の間にある平行四辺形は互いに等しい。」
同じ底辺ＢＣ上にあり同じ平行線ＡＦ、ＢＣの間にある平行四辺形をＡＢＣＤ、ＥＢＣＦとせよ。
平行四辺形ＡＢＣＤはＥＢＣＦと等しいことをいう。
ＡＢＣＤは平行四辺形であるので、ＡＤはＢＣと等しい。命題Ⅰ．34
同様な理由で、ＥＦはＢＣと等しいので、ＡＤもＥＦと等しい。そして、ＤＥは共通なので、ＡＥ全体はＤＦ全体と等しい。共通概念Ⅰ．２
しかし、ＡＢもＤＣと等しい。それゆえ、２辺ＥＡ、ＡＢは２辺ＦＤ、ＤＣとそれぞれ等しく、外角は内角と等しいので、角ＦＤＣは角ＥＡＢと等しい。それゆえ、底辺ＥＢはＦＣと等しく、三角形ＥＡＢと三角形ＦＤＣは等しい。命題Ⅰ．29，命題Ⅰ．４
おのおのからＤＧＥをひきなさい。そのとき、残っているトラペジアＡＢＧＤは残っているトラペジアＥＧＣＦと等しい。共通概念Ⅰ．３
おのおのに三角形ＧＢＣを加えなさい。そのとき、平行四辺形ＡＢＣＤ全体は平行四辺形ＥＢＣＦ全体と等しい。共通概念Ⅰ．２
それゆえ、同じ底辺上にあり同じ平行線の間にある平行四辺形は互いに等しい。
証明終了