命題9
通約可能な直線でできた正方形は平方数であらわせる比をもち，
平方数であらわせる比をもつ正方形はその一辺が通約可能である。
しかし，通約不可能な直線でできた正方形は，
平方数であらわせる比をもたず，
平方数であらわせる比をもたない正方形は，その一辺が通約可能ではない。
AとBが通約可能であるとする
Aでできた正方形とBでできた正方形が 平方数であらわせる比をもたないことを示す。
AとBは通約可能なのでAはBに対して数であらわせる比をもつ。
それをCのDに対する比とする。
二つの平方数の間には，比例中項が存在し，平方数の平方数に対する比は， 一辺の一辺に対する比の二乗に等しい。 Ⅹ.5
AのBに対する人CのDに対する比は等しい。 相似な図形では対応する辺の比の二乗である。
Aでできた正方形とBでできた正方形の比はAのBに対する比の二乗であり，Cでできた正方形と Dでできた正方形の比は，CのDに対する比の二乗である。
ゆえに，Aでできた正方形のBでできた正方形に対する比は Cでできた正方形のDでできた正方形に対する比に等しい。 Ⅵ.20.Cor. Ⅷ.11
つぎにAでできた正方形のBでできた正方形に対する比がCでできた正方形 のDでできた正方形に対する比であるとする。
AとBが通約可能であることを示す。
Aでできた正方形がBでできた正方形に対するのと，
Cでできた正方形がDでできた正方形に対するのは等しく，
Aでできた正方形のBでできた正方形に対する比は，
AのBに対する比の二乗であり，Cでできた正方形のDでできた正方形に対する比はCのDに対する比の二乗である。
Ⅹ.6
ゆえに，AのBに対する比は，数Cの数Dに対する比である ゆえにAとBは長さにおいて通約可能である。
つぎに，AとBが通約不可能であるとする。
Aでできた正方形がBでできた正方形に 平方数であらわせる比をもたないことを示す。
もし，Aでできた正方形がBでできた正方形に平方数であらわせる比をもつならば， AとBは通約可能である。
しかし，そうではないのでAでできた正方形は Bでできた正方形に平方数であらわせる比をもたない。
最後に，Aでできた正方形はBでできた正方形に 平方数であらわせる比をもたないとする。
AとBが通約不可能であることを示す。
AとBが通約不可能であることを示す。
しかし，そうでないので，AとBは通約可能ではない。
以上のことより，通約可能な直線でできた正方形は平方数であらわせる比をもち， 平方数であらわせる比をもつ正方形はその一辺が通約可能である。
しかし，通約不可能な直線でできた正方形は，平方数であらわせる比をもたず，平方数であらわせる比を もたない正方形は，その一辺が通約可能ではない。
証明終了