命題10
指定された直線に対して，ひとつは長さだけ，
もう一つは長さと平方においても，
通約不可能な二つの直線を見つける。
Aを指定した直線とする。
Aによって，一つは長さだけ，もう一つは長さと平方においても， 通約不可能な二つの直線を見つける。
B,Cは平方数が平方数に対してもつ比を 互いにもたないとする。
Aの正方形がDの正方形に対するようにBもCに対するようにする。 Ⅹ.6.Cor.
それゆえ，Aの正方形はDの正方形と通約可能である。 （数が数に対する比をもつので） Ⅹ.6
そして，BはCに対して平方数が平方数に対してもつ比をもたないので，Aの正方形はDの正方形に対しても平方数が平方数に対してもつ比をもたない。
それゆえ，AとDは長さにおいて通約不可能である。 Ⅹ.9
次に，AとDの間の比例中項をEとする。
AとDはAの正方形がEの正方形に対するのと同じである。 Ⅴ.Def.9
AはDの長さと通約不可能である。 よって，Aの正方形はEの正方形と通約不可能である。 Ⅹ.11
よって，AとEは，長さにおいても通約不可能である。
よって，定理が証明された。
証明終了