命題11

四つの量が比例していて，
一番目の量が二番目の量で通約可能ならば， 三番目の量も四番目の量で通約可能である。
また，一番目の量が二番目の量で通約不可能ならば，
三番目の量は四番目の量で通約不可能である。

比例である四つの量をA,B,C,Dとおき，AがBに対するように， CはDに対する。 また，AはBで通約可能であるものとする。

このとき，CがDで通約可能であることを示す。

AはBで通約可能であるので AはBに対して数であらわせる比をもつ。 �].5

また，AがBに対するように，CはDに対するので， CはDに対して数であらわせる比をもつ。

ゆえに，CはDで通約可能である。 �X.11 �].6

次に，AはBで通約不可能であるものとする。

CがDで通約不可能であることを示す。

AはBで通約不可能なので， AはBに対して，数であらわせる比をもたない。 �].7

よって，CはDと通約不可能である。 �X.11 �].8

証明終了