命題50
第三の二項線分を見つける
二つの数AC,CBとする。
それらの和ABはBCに対して，平方数であらわせる比を持つが
ACに対しては平方数であらわせる比を
持たない。
他の数をDとし，平方数でないとする。
また，それは，BA,ACのどちらに対しても平方数であらわせる比を持たないとする。
有理線分をEとし，DがABに対するように E上の正方形がFG上の正方形に対するようにEをとる。
このときE上の正方形はFG上の正方形と通約可能である。 Ⅹ.6.Cor. Ⅹ.6
またEは有理で，ゆえにFGも有理
そしてDはABに対して平方数であらわせる比を持たないので ゆえにEはFGと長さにおいて通約不可能である。 Ⅹ.9
次に数BAが数ACに対するように FG上の正方形がGH上の正方形に対するようにする。
そのとき，FG上の正方形はGH上の正方形と通約可能。 Ⅹ.6.Cor. Ⅹ.6
また，FGは有理で，ゆえに，GHも有理。
またBAはACに対して平方数であらわせる比を持たないので，
同様にFG上の正方形は
HG上の正方形に対して平方数であらわせる比を持たない。
ゆえにFGはGHと長さにおいて通約不可能。 Ⅹ.9
したがって，FGとGHは平方においてのみ通約可能な有理線分である。
ゆえにFHは二項線分である。 Ⅹ.36
次に，それは第三の二項線分であることを示す。
DがABに対するようにE上の正方形はFG上の正方形に対し，
BAがACに対するようにFG上の正方形はGH上の正方形に対するので，
等比の理よりDがACに対するように，
E上の正方形はGH上の正方形に対する。
Ⅴ.22
またDはACに対して平方数であらわせる比を持たないので，
ゆえに，同様にE上の正方形はGH上の正方形に対して平方数であらわせる比を持たない。
ゆえに，EはGHと長さにおいて通約不可能。 Ⅹ.9
BAがACに対するようにFG上の正方形はGH上の正方形に対するので，
ゆえにFG上の正方形はGH上の正方形より大きい。
GH上の正方形とK上の正方形の和がFG上の正方形に等しいとする時
除比の理より，ABがBCに対するようにFG上の正方形がK上の正方形に対する。
Ⅴ.19.Cor.
また，ABはBCに対して平方数であらわせる比を持つので，
ゆえに，FG上の正方形は
K上の正方形に対して平方数であらわせる比を持つ。
ゆえにFGはKと長さにおいて通約可能である。
ゆえにFG上の正方形はGH上の正方形より FGと通約可能な線分K上の正方形だけ大きい。 Ⅹ.9
また，FGとGHは平方においてのみ通約可能な有理線分で，
両方ともEと長さにおいて通約可能でない。
したがって，FHは第三の二項線分である。
証明終了