命題89

「第5の余線分を見つける」

ある有理線分をAとし，Aと長さにおいて通約可能な線分をCGとする。そのとき，CGは有理である。

2つの平方数をDF,FEとし，DEはDFとFEの両方ともに対して平方数で表せる比をもたない。FEがEDに対するように，CG上の正方形がGB上の正方形に対するようにする。

このとき，GB上の正方形もまた有理である。ゆえに，BGも有理。 �].6

また，DEがEFに対するように，BG上の正方形がGC上の正方形に対するので，DEはEFに対して平方数で表せる比をもたない。ゆえに，BG上の正方形はGC上の正方形に対して平方数で表せる比をもたない。ゆえに，BGはGCと長さにおいて通約不可能である。 �].9

また，両方とも有理で，ゆえにBGとGCは平方においてのみ通約可能な有理線分である。ゆえに，BCは余線分である。 �].73

次にこれが第5の余線分である事を証明する。

BG上の正方形はGC上の正方形よりH上の正方形だけ大きいとする。

BG上の正方形がGC上の正方形に対するように，DEがEFに対し，ゆえに入れ替えて，EDがDFに対するようにBG上の正方形がH上の正方形に対する。

また，EDはDFに対して平方数で表せる比をもたないので，ゆえにBG上の正方形もH上の正方形に対して平方数で表せる比をもたない。ゆえに，BGはHと長さにおいて通約不可能。 �].9

また，BG上の正方形はGC上の正方形より，H上の正方形だけ大きい。ゆえに，GB上の正方形はGC上の正方形よりGBと長さにおいて通約不可能な線分上の正方形だけ大きい。

また，たされた線分CGは定められた有理線分Aと長さにおいて通約可能でゆえに，BCは第5の余線分である。 �].Def.�V.5

よって，第5の余線分BCが見つけられた。

証明終了

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