命題90
「第6の余線分を見つける」
EがBCに対するようにA上の正方形がFG上の正方形に対し,また,BCがCDに対するようにFG上の正方形がGH上の正方形に対するものとする。
また，BCがCDに対するようにFG上の正方形がGH上の正方形に対する。よって，FG上の正方形はGH上の正方形と通約可能である。 Ⅹ.6
しかしここで，FG上の正方形は有理。よって，GH上の正方形も有理。よってGHも有理である。
BCはCDと平方数が平方数に対する比を持たないので,FGもGHに対して,平方数が平方数に対して持つ比を持たない。よって，FGはGHと長さにおいて通約不可能である。 Ⅹ.9
そして，FG,GHは有理なので,FG,GHは平方においてのみ通約可能な有理線分である。よってFHは余線分である。 Ⅹ.73
つぎに，FHは第6の余線分であることを示す。
EがBCに対するようにA上の正方形がFG上の正方形に対し,BCがCDに対するようにFG上の正方形がGH上の正方形に対する。よって,等間隔比によりEがCDに対するようにA上の正方形がGH上の正方形に対する。 Ⅴ.22
しかしここでEはCDに対して平方数が平方数に対して持つ比を持たないので,A上の正方形はGH上の正方形に対して持たない。よって，AはGHと長さにおいて通約不可能である。よってFGもGHも有理線分Aと長さにおいて通約不可能である。 Ⅹ.9
ここで，K上の正方形はGH上の正方形よりFG上の正方形だけ大きいとする。
BCがCDに対するようにFG上の正方形がGH上の正方形に対するので,反転比により,CBがBDに対するようにFG上の正方形がK上の正方形に対する。
しかしここで，CBはBDに対して平方数が平方数に対して持つ比を持たないのでFG上の正方形もK上の正方形に対して比を持たない。よってFGはKと長さにおいて通約不可能である。 Ⅹ.9
FG上の正方形はGH上の正方形よりK上の正方形だけ大きい。よってFG上の正方形はGH上の正方形よりFGと長さにおいて通約不可能な直線上の正方形だけ大きい。 Ⅹ.Def.Ⅲ.6
そしてFGもGHも有理線分Aと通約不可能なので,FHは第6の余線分である。よって，第6の余線分は見つけられた。
証明終了