命題１４
「与えられた直線図形と等しい正方形を作図すること」
与えられた直線図形をＡとせよ。
与えられた直線図形Ａと等しい正方形を作図することが要求されている。
与えられた直線図形Ａと等しい直角な平行四辺形ＢＤを作図しなさい。命題Ⅰ．45
そのとき、ＢＥがＥＤと等しいならば、要求されたことはなされたであろう。なぜなら、正方形ＢＤは直線図形Ａと等しく作図されている。
しかし、もしそうでなければ、線分ＢＥ、ＥＤのうちの一方は大きい。
ＢＥを大きい方とし、それをＦまで延長しなさい。ＥＦをＥＤと等しくさせ、ＧでＢＦを２等分しなさい。
中心Ｇと線分ＧＢ、ＧＦのうちの一方を半径にもつ半円ＢＨＦをかきなさい。ＤＥをＨまで延長しなさい。
そのとき、線分ＢＦはＧで等しい部分に切り取られ、Ｅで不等な部分に切り取られるので、ＢＥ、ＥＦに囲まれている長方形とＥＧ上の正方形の和はＧＦ上の正方形と等しい。命題Ⅱ．５
しかし、ＧＦはＧＨと等しいので、ＢＥ、ＥＦに囲まれている長方形とＧＥ上の正方形の和はＧＨ上の正方形と等しい。
しかし、ＨＥ、ＥＧに囲まれている長方形はＧＨ上の正方形と等しいので、ＢＥ、ＥＦに囲まれている長方形とＧＥ上の正方形の和はＨＥ、ＥＧ上の正方形の和と等しい。命題Ⅰ．47
おのおのからＧＥ上の正方形をひきなさい。それゆえ、残りのＢＥ、ＥＦに囲まれている長方形はＥＨ上の正方形と等しい。
しかし、ＥＦはＥＤと等しいため、ＢＥ、ＥＦに囲まれている長方形はＢＤなので、平行四辺形ＢＤはＨＥ上の正方形と等しい。
そして、ＢＤは直線図形Ａと等しい。
それゆえ、直線図形ＡもＥＨ上にかくことができる正方形と等しい。
それゆえ、ＥＨ上にかくことができる正方形は与えられた直線図形Ａと等しく作図されている。
作業終了