命題４５
「与えられた直線角の中に与えられた直線図形と等しい平行四辺形を作図すること」
与えられた直線図形をＡＢＣＤ、与えられた直線角をＥとせよ。
与えられた角Ｅの中に直線図形ＡＢＣＤと等しい平行四辺形を作図することが要求している。
ＤＢを結びなさい。Ｅと等しい角ＨＫＦの中に三角形ＡＢＤと等しい平行四辺形ＦＨを作図しなさい。Ｅと等しい角ＧＨＭの中に直線ＧＨ上に三角形ＤＢＣと等しい平行四辺形ＧＭをつくりなさい。命題Ⅰ．42，命題Ⅰ．44
角Ｅは角ＨＫＦとＧＨＭのそれぞれと等しいので、角ＨＫＦも角ＧＨＭと等しい。共通概念Ⅰ．１
おのおのに角ＫＨ Ｇを加えなさい。それゆえ、角ＦＫＨとＫＨＧの和は角ＫＨＧとＧＨＭの和と等しい。
しかし、角ＦＫＨとＫＨＧの和は２直角と等しいので、角ＫＨＧとＧＨＭの和も２直角と等しい。命題Ⅰ．29
さらに、線分ＧＨに対して、その上の点Ｈにおいて同じ側にない２線分ＫＨ、ＨＭは２直角と互いに等しい接角をつくるので、ＫＨはＨＭと一直線である。命題Ⅰ．14
直線ＨＧは平行線ＫＭ、ＦＧと交わっているので、錯角ＭＨＧ、ＨＧＦは互いに等しい。命題Ⅰ．29
おのおのに角ＨＧＬを加えなさい。そのとき、角ＭＨＧとＨＧＬの和は角ＨＧＦとＨＧＬの和と等しい。共通概念Ⅰ．２
しかし、角ＭＨＧとＨＧＬの和は２直角と等しいので、角ＨＧＦとＨＧＬの和も２直角と等しい。それゆえ、ＦＧはＧＬをもつ直線にある。命題Ⅰ．29，共通概念Ⅰ．１，命題Ⅰ．14
ＦＫはＨＧと等しく平行で、ＨＧはまたＭＬと等しく平行なので、ＫＦもＭＬと等しく平行で、直線ＫＭとＦＬは端で結んでいる。それゆえ、ＫＭとＦＬも等しく平行である。それゆえ、ＫＦＬＭは平行四辺形である。命題Ⅰ．34，命題Ⅰ．30，共通概念Ⅰ．１，命題Ⅰ．33
三角形ＡＢＤは平行四辺形ＦＨと等しく、ＤＢＣはＧＭと等しいので、直線図形ＡＢＣＤ全体は平行四辺形ＫＦＬＭ全体と等しい。
それゆえ、平行四辺形ＫＦＬＭは与えられた角Ｅと等しい角ＦＫＭの中にある、与えられた直線図形ＡＢＣＤと等しく作図されている。
作業終了