命題５

「線分が等しいおよび不等な部分に分けられるならば、不等な部分全体によって囲まれた長方形と２つの区分点の間の線分上の正方形の和はもとの線分の半分の上の正方形と等しい。」

点Ｃで等しい部分に、点Ｄで不等な部分に分けられた線分をＡＢとせよ。

ＡＤ、ＤＢに囲まれた長方形とＣＤ上の正方形の和はＣＢ上の正方形と等しいことをいう。

ＣＢ上に正方形ＣＥＦＢをかき、ＢＥを結びなさい。Ｄを通って、ＣＥ、ＢＦのどちらかと平行なＤＧをひき、また、Ｈを通って、ＡＢ、ＥＦのどちらかと平行なＫＭをひきなさい。また、Ａを通って、ＣＬ、ＢＭのどちらかと平行なＡＫをひきなさい。命題�T．46，命題�T．31

そのとき、補形ＣＨは補形ＨＦと等しいので、おのおのにＤＭを加えなさい。それゆえ、ＣＭ全体はＤＦ全体と等しい。命題�T．43

しかし、ＡＣもＣＢと等しいので、ＣＭはＡＬと等しい。それゆえ、ＡＬもＤＦと等しい。おのおのにＣＨを加えなさい。それゆえ、ＡＨ全体はグノーモーンＮＯＰと等しい。命題�T．36

しかし、ＡＨはＡＤ、ＤＢに囲まれている長方形である。なぜなら、ＤＨはＤＢと等しい。それゆえ、グノーモーンＮＯＰもＡＤ、ＤＢに囲まれている長方形と等しい。

ＣＤ上の正方形と等しいＬＧをおのおのに加えなさい。それゆえ、グノーモーンＮＯＰとＬＧの和はＡＤ、ＤＢに囲まれている長方形とＣＤ上の正方形の和と等しい。

しかし、ＬＧを合わせたグノーモーンＮＯＰはＣＢ上にかかれている正方形ＣＥＦＢ全体である。

それゆえ、ＣＤ上の正方形を合わせたＡＤ、ＤＢに囲まれている長方形はＣＢ上の正方形と等しい。

それゆえ、線分が等しいおよび不等な部分に分けられるならば、不等な部分全体によって囲まれた長方形と２つの区分点の間の線分上の正方形の和はもとの線分の半分の上の正方形と等しい。

証明終了

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