命題２７
「等しい円で、等しい弧の上に立っている角は中心角でも円周角でも互いに等しい。」
等しい円ＡＢＣ、ＤＥＦで、等しい弧ＢＣ、ＥＦの上に角ＢＧＣ、ＥＨＦが中心Ｇ、Ｈに立ち、角ＢＡＣ、ＥＤＦが円周に立っているとせよ。
角ＢＧＣは角ＥＨＦと等しく、角ＢＡＣは角ＥＤＦと等しいことをいう。
角ＢＧＣが角ＥＨＦと等しくないならば、それらのうちの一方は大きい。角ＢＧＣを大きいとせよ。線分ＢＧ上にその上の点Ｇにおいて角ＥＨＦと等しい角ＢＧＫを作図しなさい。命題Ⅰ．23
いま、等しい角が中心にあるとき、それらは等しい弧の上に立っているので、弧ＢＫは弧ＥＦと等しい。命題Ⅲ．26
しかし、ＥＦはＢＣと等しいので、ＢＫもＢＣと等しい。小さいほうは大きいほうと等しくなるが、不可能である。
それゆえ、角ＢＧＣは角ＥＨＦと等しくないことはない。それゆえ、それは等しい。
そして、Ａにおける角は角ＢＧＣの半分で、Ｄにおける角は角ＥＨＦの半分なので、Ａにおける角もＤにおける角と等しい。命題Ⅲ．20
それゆえ、等しい円で、等しい弧の上に立っている角は中心角でも円周角でも互いに等しい。
証明終了