命題10

 

 

同じ量に比をもつ量のうち、大きい比を持つものは大きい。大きい比を持つ同じ量がもつものは小さい。

　

AはCに対してBがCに持つより大きい比を持つとする。

 

AがBより大きいことをいう。

 

そうでなければ、AはBと等しいかBより少ないかのどちらかである。

 

さてAはBと等しくなく､その場合量AとBのそれぞれはCに対して同じ比を持つだろうが､持たない､それゆえにAはBと等しくない。proposition�X．７

 

Bより少ないA､その場合AはCに対してBがCに持つより小さい比を持つが､持たない､それゆえにAはBより大きい。proposition�X．８

 

―

 

次に、CがBに対してCがAに持つより大きい比を持つとする。

 

BがAより小さいことをいう。

 

そうでなければ、BはAと等しいかAより大きい。

 

さてBがAと等しくなく､その場合Cは量AとBのそれぞれに対して同じ比を持つだろうが､持たない､それゆえにAはBと等しくない。proposition�X．７

 

Aより大きいB、その場合CはBに対してCがAに持つより小さい比を持つだろうが､持たない､それゆえにBはAより大きくない。proposition�X．８

 

しかしどちらも等しくないことが証明されている。それゆえにBはAより小さい。

 

それゆえに、同じ量に比をもつ量のうち、大きい比を持つものは大きい。大きい比を持つ同じ量がもつものは小さい。

 

証明終了

 

 

 

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