命題２４
任意の平行四辺形において、直径のまわりの平行四辺形は全体に対しても互いに対しても相似である。
ABCDを平行四辺形とし、ACをその直径とし、EGとHKをACのまわりの平行四辺形とする。
平行四辺形EGとHKのそれぞれが全体ABCDと互いの両方と相似であることを言う。
EFは⊿ABCの辺BCと平行であるから、比例して、BEはEAに対し同じようにCFはFAに対する。propositionⅥ．２
再度、FGは⊿ACDの辺CDと平行であるから、比例して、CFはFAに対し同じようにDGはGAに対する。propositionⅥ．２
しかしCFがFAに対し同じようにBEがEAに対することは証明されていて、それゆえにBEはEAに対し同じようにDGはGAに対する。それゆえに、共にとれて、BAはAEに対し同じようにDAはAGに対し、そして、入れ替えて、BAはADに対し同じようにEAはAGに対する。propositionⅤ．１８、propositionⅤ．１６
それゆえに平行四辺形ABCDとEFにおいて、共通の∠BADのまわりの辺は比例している。
そして、GFはDCと平行であり、∠AFGは∠ACDと等しく、そして∠DACは２つの三角形ADCとAGFにおいて共通であり、それゆえに⊿ADCは⊿AGFと対応する角が等しい。propositionⅠ．２９
同じ理由で⊿ACBはまた⊿AFEと対応する角が等しく、全体の平行四辺形ABCDは全体の平行四辺形EGと対応する角が等しい。
それゆえに、比例して、ADはDCに対して同じようにAGはGFに対して、DCはCAに対して同じようにGFはFAに対して、ACはCBに対して同じようにAFはFEに対して、そしてCBはBAに対して同じようにFEはEAに対する。
そして、DCはCAに対して同じようにGFはFAに対して、ACはCBに対して同じようにAFはFEに対することは証明されたから、それゆえに、等間隔比で、DCはCBに対し同じようにGFはFEに対する。propositionⅤ．２２
それゆえに平行四辺形ABCDとEGにおいて等しい角のまわりの辺は比例する。それゆえに平行四辺形ABCDは平行四辺形EGと相似である。definitionⅥ．１
同じ理由で平行四辺形ABCDは平行四辺形KHともまた相似である。それゆえに平行四辺形EGとKHのそれぞれは平行四辺形ABCDと相似である。
しかし同じ直線図形と相似である図形はまた互いに対しても相似であり、それゆえに平行四辺形EGはまた平行四辺形HKと相似である。propositionⅥ．２１
それゆえに、任意の平行四辺形において、直径のまわりの平行四辺形は全体に対しても互いに対しても相似である。
証明終了