命題３
もし、連続して比例する任意個の数が同じ比をもつ数の中で最小であるならば、そのとき、それらの外項は互いに素である。
連続して比例する任意個の数A、B、C、Dが同じ比をもつ数の中で最小の数であるとせよ。
それらの外項AとDは互いに素であると主張する。
A、B、C、Dと同じ比で最小である２つの数EとFを、同じ性質である他の３つの数G、H、Kをとり、他に１つずつ続けてとり、とられた個数が数A、B、C、Dの個数と等しくなるまでとる。propositionⅦ．３３、propositionⅧ．２
それらをL、M、N、Oとせよ。
EとFは同じ比をもつ数の中で最小の数なので、それゆえに、それらは互いに素である。propositionⅦ．２２
また、数EとFに自分自身をそれぞれかけられると数GとKを作り、GとKをそれぞれかけるとLとOを作るので、それゆえに、GとK、LとOは互いに素である。propositionⅧ．２cor、propositionⅦ．２７
また、A、B、C、Dは同じ比をもつ数の中で最小である数であり、一方L、M、N、Oは、A、B、C、Dと同じ比をもつ数の中で最小であり、A、B、C、Dの個数とL、M、N、Oの個数は等しいので、それゆえに、A、B、C、DはL、M、N、Oとそれぞれ等しい。
それゆえに、AはLに等しく、DはOに等しい。
また、LとOは互いに素である。
それゆえに、AとDも互いに素である。
それゆえに、もし、連続して比例する任意個の数が同じ比をもつ数の中で最小であるならば、そのとき、それらの外項は互いに素である。
証明終了