Lemma
長さにおいて通約可能な直線が,常に,正方形において,
通約可能と証明された時,
正方形において,通約可能な直線は常に長さにおいても通約可能ではない。
ある直線が,有理の直線で長さにおいて通約可能であるなら,
それを,長さ,正方形において
通約可能で有理であるという。
長さにおいて,通約可能な直線は常に,正方形で通約可能である。
ある直線が,有利な直線において通約可能なら長さにおいて通約可能である。
それを,長さ,正方形において,通約可能で有理であるという。
有理な直線で正方形において通約可能である時,
長さにおいて通約不可能である
このとき,正方形において通約可能で有理という。
命題19
長さにおいて通約可能な有理な直線を含む長方形は有理である。
長方形ACを長さにおいて通約可能で有理な直線AB,BCを作るとする。
この長方形ACが有理であることを示す。
AB上に正方形ADを描く。正方形ADは有理である。 T.46 ].Def.4
ABはBCと長さにおいて通約可能の時,
AB=BDゆえに,BD,BCは長さにおいて通約可能である。
BDがBCにたいするようにDAがACに対する。 Y.1
それゆえ,DA,ACは通約可能である。 ].11
DAは有理である。それゆえ,ACも有理である。 ].Def.4
証明終了