命題18
二つの不等な直線があり，小さい線分でできた正方形の4分の1に等しい
正方形だけ欠けている
平行四辺形が大きい線分で作られ，
それを通約不可能な二つの部分に分けるならば，
大きい線分でできた正方形は，
小さい線分でできた正方形より，
大きい線分と通約不可能な
線分でできた正方形だけ大きい。
また，大きい線分でできた正方形が小さい線分でできた正方形の
4分の1に等しい正方形だけ
欠けている平行四辺形が
大きい線分で作られるならば，
それを通約不可能な二つの部分に分ける。
二つの不等な直線AとBCがあり，大きいほうをBCとする。
そして，小さいほうの直線
つまりAでできた正方形の４分の１に等しい正方形だけかけた長方形が
BC上に作られる。
これをBDとDCでできた長方形であるとし， BDとDCは長さにおいて通約不可能である。 Ⅹ.17.Lemma
BCでできた正方形はAでできた正方形より
BCと通約不可能な直線でできた正方形だけ大きいことを示す。
定理17と同様の作図をすると，BCはAでできた正方形より FDでできた正方形だけ大きいことがわかる。
BDは長さにおいて，DCと通約不可能なので，
ゆえに，BCもまたCDと長さにおいて通約不可能である。
Ⅹ.16
DCはBFとDCの和と通約不可能なので，
ゆえに，BCはBFとDCの和とは通約不可能であり，
ゆえにBCは残りのFDとも長さにおいて通約不可能である。
Ⅹ.6
Ⅹ.13
Ⅹ.16
そして，正方形BCは正方形Aより正方形FDだけ大きく，
ゆえに正方形BCは正方形Aより
BCと通約不可能な直線でできた正方形だけ大きい。
次に，正方形BCは正方形AよりBCと通約不可能な直線でできた正方形だけ 大きいとする
正方形Aの４分の１に等しい正方形だけ欠けた平行四辺形をBC上につくり，
これをBDとDCとでできた長方形とする。
BDとDCが通約不可能であることはすでに証明された。
同様に作図をすると， 正方形BCは正方形Aより正方形FDだけ大きいことがわかる。
正方形BCは正方形AよりBCと通約不可能な直線でできた正方形だけ大きく，
ゆえにBCはFDと長さにおいて通約不可能である。
ゆえに，BCは残り，つまりBFとDCの和とも通約不可能である。 Ⅹ.16
BFとDCの和はDCと長さにおいて通約不可能であり，
ゆえにBCはDCと長さにおいて通約不可能である。
よって，BDはDCとも通約不可能である。 Ⅹ.6 Ⅹ.13 Ⅹ.16
証明終了