命題48
第一の二項線分を見つける
ACとCBを二つの数であるとする。
それらの和ABはBCに対して平方数であらわせる比を持つ。
しかし,CAに対しては平方数であらわせる比を持たないとする。 ].28.Lemma1
ある有理線分をDとし,EFはDと長さにおいて通約可能であるとする。
ゆえに,EFも有理線分である。
数BAが数ACに対するように EF上の正方形がFG上の正方形に対するようにGをとる。 ].6.Cor.
また,ABはACに対して数であらわせる比を持ち,
ゆえに,EF上の正方形も
またFG上の正方形に対して数であらわせる比を持つ。
すなわち,EF上の正方形はFG上の正方形と通約可能である。 ].6
また,EFは有理で,ゆえにFGも有理。
そしてBAはACに対して平方数であらわせる比を持たないので
同様にEF上の正方形は
FG上の正方形に対して平方数であらわせる比を持たない。
ゆえに,EFはFGと長さにおいて通約不可能 ].9
したがって,EFとFGは平方においてのみ通約可能な有理線分である。
ゆえに,EGは二項線分である。
].36
これが第一の二項線分であることを示す。
数BAが数ACに対するようにEF上の正方形がFG上の正方形に対するので,
BAがACより大きい時,
EF上の正方形もまたFG上の正方形より大きい。
FG上の正方形とH上の正方形の和がEF上の正方形に等しいとする。
BAがACに対するようにEF上の正方形はFG上の正方形に対するので,
ゆえに,除比の理より,ABがBCに対するように,
EF上の正方形はH上の正方形に対する。
X.19.Cor.
また,ABはBCに対して平方数であらわせる比をもつので,
ゆえに,EF上の正方形はH上の正方形に対して,
平方数であらわせる比を持つ。
したがって,EFとHは長さにおいて通約可能である。
ゆえに,EF上の正方形はFG上の正方形より EFと通約可能な線分H上の正方形だけ大きい。 ].9
また,EFとFGは有理で,EFはDと長さにおいて通約可能である
したがって,EGは第一の二項線分である。
証明終了