命題59
「ある有理線分と第6の二項線分を含む四角形があるならば，それに等しい正方形の辺が無理線分であり，それは2つの中項面積の和に等しい正方形の辺と呼ばれる」
ACに等しい正方形の辺が2つの中項面積の和に等しい正方形の辺である事を示す。
前と同様の図形を描く。
そうすると，MOが四角形ACに等しい正方形の辺である事は明らかである。すなわち，MNはNOと平方において通約不可能である。
EAはABと長さにおいて通約不可能なので，ゆえにEAとABは平方においてのみ通約可能な有理線分である。よって，AKはMN上，NO上の正方形の和に等しい正方形の辺であり，中項である。Ⅹ.21
また，EDもABと長さにおいて通約不可能なので，ゆえにFEもEKと通約不可能である。よって，FEとEKは平方においてのみ通約可能な有理線分である。ゆえに，ELすなわちMR，すなわちMNとNOでできた長方形は中項である。Ⅹ.13 Ⅹ.21
AEはEFと通約不可能なのでゆえにAKはELと通約不可能である。 Ⅵ.1 Ⅹ.11
また，AKはMN上，NO上の正方形の和で，ELはMNとNOでできた長方形であり，MN上，NO上の正方形の和と，長方形MN,NOは通約不可能である。また，それらは中項面積であるのでMNとNOは平方において通約不可能である。
ゆえに，MOは２つの中項面積の和に等しい正方形の辺であり，ACに等しい正方形の辺である。 Ⅹ.41
証明終了