命題77

「もし，線分から全体と平方において通約不可能な線分がひかれ，全体と2つの中項線分上の正方形の和が中項であり，それらでできた長方形の2倍が有理であるならば，残りは無理線分で中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺と呼ぶ」

線分ABからABと通約不可能な線分BCが引かれ，与えられた条件を満たすとする。

残りのACが無理で前に述べたような直線であることを示す。

AB上，BC上の正方形の和は中項で，長方形AB,BCの2倍は有理なので，ゆえにAB上，BC上の正方形の和は長方形AB,BCの2倍と通約不可能である。ゆえに，残りのAC上の正方形も長方形AB,BCの2倍と通約不可能である。 �U.7 �].16

また，長方形AB，BCの2倍は有理で，ゆえに，AC上の正方形は無理。 ゆえに，ACは無理。そしてそれを中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺と呼ぶ。

証明終了

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