命題106

「中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺と通約可能な線分は、中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺である」

ABを中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺とし、CDはABと通約可能であるとする。

CDが中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺であることを示す。

BEはABの付加とする。 　よって、AE,EBは平方において通約不可能な線分で、AE,EBでできた正方形の和を中項面積とし、AE,EBによって囲まれた長方形を有理面積とする。 �].77

前と同じ作図を用いる。

このとき、同様にしてCF,FDはAE,EBと同じ比であり、AE,EBでできた正方形の和はCF,FDでできた正方形の和と通約可能で、長方形AE,EBは長方形CF,FDと通約可能であることが証明できる。 　よって、CF,FDは平方において通約不可能な線分で、CF,FDでできた正方形の和を中項面積とし、CF,FDによって囲まれた長方形を有理面積とする。

ゆえに、CDは中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺である。 �].11

したがって，中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺と通約可能な線分は、中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺である。

証明終了

第10巻命題105へ　 第10巻命題107へ　 第10巻目次へ