命題５
「与えられた三角形に円を外接すること」
与えられた三角形をＡＢＣとせよ。
与えられた三角形ＡＢＣに円を内接することが要求されている。
点Ｄ、Ｅで線分ＡＢ、ＡＣを２等分しなさい。点Ｄ、ＥからＡＢ、ＡＣに直角なＤＦ、ＥＦをひきなさい。そのとき、それらは三角形ＡＢＣの内部で交わるか、線分ＢＣ上で交わるか、ＢＣの外部で交わる。命題Ⅰ．10
まず、それらをＦで内部で交わるとせよ。ＦＢ、ＦＣ、ＦＡを結びなさい。
そのとき、ＡＤはＤＢと等しく、ＤＦは共通で、直角なので、底辺ＡＦは底辺ＦＢと等しい。命題Ⅰ．４
同様にして、ＣＦもＡＦと等しいことが証明できるので、ＦＢもＦＣと等しい。それゆえ、３線分ＦＡ、ＦＢ、ＦＣは互いに等しい。
それゆえ、中心をＦ、半径を線分ＦＡ、ＦＢ、ＦＣのうちの１つをもってかかれる円は残りの点も通り、円は三角形ＡＢＣに外接している。
ＡＢＣのように外接するとせよ。
つぎに、２番目の図のようにＤＦ、ＥＦを線分ＢＣ上のＦで交わるとせよ。ＡＦを結びなさい。
そのとき、同様にして、点Ｆは三角形ＡＢＣに外接する円の中心であることが証明できる。
つぎに、３番目の図のようにＤＦ、ＥＦを三角形ＡＢＣの外部でＦで交わるとせよ。ＡＦ、ＢＦ、ＣＦを結びなさい。
そのとき、また、ＡＤはＤＢと等しく、ＤＦは共通で、直角なので、底辺ＡＦは底辺ＦＢと等しい。命題Ⅰ．４
同様にして、ＣＦもＡＦと等しいことが証明できるので、ＦＢもＦＣと等しい。それゆえ、中心をＦ、半径を線分ＦＡ、ＦＢ、ＦＣのうちの１つをもってかかれる円は残りの点も通り、円は三角形ＡＢＣに外接している。
それゆえ、円は与えられた三角形に外接している。
作業終了
系
そして、円の中心が三角形の内部におちるとき、半円より大きい切片内にあるので、角ＢＡＣは直角より小さく、中心が線分ＢＣ上におちるとき、半円にあるので、角ＢＡＣは直角で、円の中心が三角形の外部におちるとき、半円より小さい切片内にあるので、角ＢＡＣは直角より大きいことが明らかである。