命題４
「与えられた三角形に円を内接すること」
与えられた三角形をＡＢＣとせよ。
三角形ＡＢＣに円を内接することが要求されている。
線分ＢＤ、ＣＤで角ＡＢＣ、ＡＣＢを２等分し、これらを点Ｄで互いに交わるとせよ。Ｄから線分ＡＢ、ＢＣ、ＣＡに垂直なＤＥ、ＤＦ、ＤＧをひきなさい。命題Ⅰ．９
いま、角ＡＢＤは角ＣＢＤと等しく、直角ＢＥＤも直角ＢＦＤと等しいので、ＥＢＤ、ＦＢＤは２角が２角と等しく、１辺が１辺と等しい、つまり等しい角の１つに対する共通の辺ＢＤをもつ２つの三角形である。それゆえ、それらはまた残りの辺を残りの辺と等しくするであろう。それゆえ、ＤＥはＤＦと等しい。命題Ⅰ．26
同様な理由で、ＤＧもＤＦと等しい。
それゆえ、３線分ＤＥ、ＤＦ、ＤＧは互いに等しい。それゆえ、中心をＤ、半径をＤＥ、ＤＦ、ＤＧのうちの１つをもってかかれる円も残りの点を通り、点Ｅ、Ｆ、Ｇにおける角は直角であるため、線分ＡＢ、ＢＣ、ＣＡと接する。
なぜなら、円がそれらと交わるならば、円の直径にその両端から直角にひかれた線分は円の内部におちることになるであろう。これは不合理であることが証明された。それゆえ、中心をＤ、半径をＤＥ、ＤＦ、ＤＧのうちの１つをもってかかれる円は線分ＡＢ、ＢＣ、ＣＡと交わらない。それゆえ、それらと接し、円は三角形ＡＢＣに内接する。命題Ⅲ．16，定義Ⅳ．５
ＦＧＥのように内接するとせよ。
それゆえ、円ＥＦＧは与えられた三角形ＡＢＣに内接している。
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