命題３７
「同じ底辺上にあり同じ平行線の間にある三角形は互いに等しい。」
同じ底辺ＢＣ上にあり同じ平行線ＡＤ、ＢＣの間にある三角形をＡＢＣ、ＤＢＣとせよ
三角形ＡＢＣは三角形ＤＢＣと等しいことをいう。
ＡＤをＥとＦのどちらともに延長しなさい。Ｂを通り、ＣＡに平行なＢＥをひき、Ｃを通り、ＢＤと平行なＣＦをひきなさい。命題Ⅰ．31
そのとき、図形ＥＢＣＡとＤＢＣＦのそれぞれは平行であり、それらは等しい。なぜなら、それらが同じ底辺ＢＣ上にあり同じ平行線ＢＣ、ＥＦの間にある。命題Ⅰ．35
さらに、三角形ＡＢＣは平行四辺形ＥＢＣＡの半分である。なぜなら、対角線ＡＢはそれを２等分する。そして、三角形ＤＢＣは平行四辺形ＤＢＣＦの半分である。なぜなら、対角線ＤＣはそれを２等分する。命題Ⅰ．34
それゆえ、三角形ＡＢＣは三角形ＤＢＣと等しい。
それゆえ、同じ底辺上にあり同じ平行線の間にある三角形は互いに等しい。
証明終了