命題12

同じ量と通約可能な量はそれらも互いに通約可能である。

量Aと量Bはそれぞれ量Cと通約可能であるとする。

AとBも通約可能であることを示す。

AとCは通約可能なのでAはCに対して数であらわせる比をもつ。 それをDのEに対する比とする。

さらに，CはBとも通約可能なので CはBに対しても数であらわせる比をもつそれを FのGに対する比とする。 �].5

そして，数で与えられた比すなわちDのEに対する比と FのGに対する比に連続して数H,K,Lで比を与える。

つまり，DがEに対するようにHはKに対し， FがGに対するようにKがLに対する。 �[.4

AがCにたいするようにDがEに対し， DがEに対するようにHはKに対する

ゆえに，AがCに対するようにHはKに対する。 CがBに対するようにFがGに対し FがGに対するようにKがLに対する。

ゆえにCがBに対するようにKはLに対する。 �X.11

AのCに対する比はHのKに対する比に等しく。 AのBに対する比はHのLに対する比に等しい。 �X.22