命題63

「優線分上の正方形に等しい面積が有理線分上に作られるとき，第4の二項線分を幅とする」

ABはCで分けられる優線分とする。そしてACはCBより大きい。DEを有理線分とする。AB上の正方形に等しく，DGを幅とする平行四辺形DFをDE上に作る。

DGが第4の二項線分である事を示す。

前と同様に作図をする。

ABはCで分けられる優線分なので，ACとCBは平方において通約不可能な直線であり，AC上，CB上の正方形の和は有理。また，長方形AC,CBは中項である。 �].39

AC上，CB上の正方形の和は有理なので，DLも有理。よって，DMも有理でDEと長さにおいて通約可能である。 �].20

また，長方形AC,CBの2倍つまりMFは中項なので，有理線分ML上に作られる。よって，MGも有理でDEと長さにおいて通約不可能である。 �].22

よって，DMもMGと長さにおいて通約不可能である。よって，DMとMGは平方においてのみ通約可能な有理線分である。よって，DGは二項線分である。 �].13 �].36

次に，DGが第4に二項線分である事を示す。

前と同様にDMはMGより大きい。そして，長方形DK,KMはMN上の正方形に等しい。

AC上の正方形はCB上の正方形と通約不可能なので，DHもKLと，DKもKMと通約不可能。 �Y.1 �].11

ここで2つの異なる直線があるとする。そして，小さい方の正方形の4分の1と等しく，正方形だけ欠けている平行四辺形が大きい線分上に作られ，そしてそれが通約不可能な部分に分けられるならば，そのとき，大きい方の正方形は小さい方の正方形より大きい方と通約不可能な直線上の正方形だけ大きい。 よって，DM上の正方形はMG上の正方形よりDMと通約不可能な直線上の正方形だけ大きい。 �].18