命題４
「線分が任意に分けられるならば、全体の上の正方形は２つの部分の上の正方形と２つの部分によって囲まれている長方形の２倍の和と等しい。」
点Ｃで任意に分けられた線分をＡＢとせよ。
ＡＢ上の正方形はＡＣ、ＣＢ上の正方形とＡＣ、ＣＢに囲まれている長方形の２倍の和と等しいことをいう。
ＡＢ上に正方形ＡＤＥＢをかきなさい。ＢＤを結びなさい。Ｃを通って、ＡＤ、ＥＢのどちらかと平行なＣＦをひき、Ｇを通って、ＡＢ、ＤＥのどちらかと平行なＨＫをひきなさい。命題Ⅰ．46，命題Ⅰ．31
そのとき、ＣＦはＡＤと平行で、ＢＤはそれらと交わっているので、外角ＣＧＢは内対角ＡＤＢと等しい。命題Ⅰ．29
しかし、辺ＢＡもＡＤと等しいので、角ＡＤＢは角ＡＢＤと等しい。それゆえ、角ＣＧＢも角ＧＢＣと等しい。ゆえに、辺ＢＣも辺ＣＧと等しい。命題Ⅰ．５，命題Ⅰ．６
しかし、ＣＢはＧＫと等しく、ＣＧはＫＢと等しい。それゆえ、ＧＫもＫＢと等い。それゆえ、ＣＧＫＢは等辺形である。命題Ⅰ．34
つぎに、それはまた直角をもつことをいう。
ＣＧはＢＫと平行なので、角ＫＢＣとＧＣＢの和は２直角と等しい。命題Ⅰ．29
しかし、角ＫＢＣは直角である。それゆえ、角ＢＣＧも直角である。ゆえに、対角ＣＧＫ、ＧＫＢも直角である。命題Ⅰ．34
それゆえ、ＣＧＫＢは直角をもつ。そして、等辺形であることも証明されていた。それゆえ、それは正方形で、それはＣＢ上にかかれる。
同様な理由で、ＨＦも正方形で、それはＨＧ、つまりＡＣ上にかかれる。それゆえ、正方形ＨＦ、ＫＣはＡＣ、ＣＢ上の正方形である。命題Ⅰ．34
いま、ＡＧはＧＥと等しく、ＧＣがＣＢと等しいためＡＧはＡＣ、ＣＢに囲まれている長方形なので、ＧＥもＡＣ、ＣＢに囲まれている長方形と等しい。それゆえ、ＡＧとＧＥの和はＡＣ、ＣＢに囲まれている長方形の２倍と等しい。
しかし、正方形ＨＦ、ＣＫもＡＣ、ＣＢ上の正方形である。それゆえ、４つの図形ＨＦ、ＣＫ、ＡＧ、ＧＥの和はＡＣ、ＣＢ上の正方形とＡＣ、ＣＢに囲まれている長方形の２倍の和と等しい。
しかし、ＨＦ、ＣＫ、ＡＧ、ＧＥはＡＤＥＢ全体であり、ＡＢ上の正方形である。
それゆえ、ＡＢ上の正方形はＡＣ、ＣＢ上の正方形とＡＣ、ＣＢに囲まれている長方形の２倍の和と等しい。
それゆえ、線分が任意に分けられるならば、全体の上の正方形は２つの部分の上の正方形と２つの部分によって囲まれている長方形の２倍の和と等しい。
証明終了