命題７
「与えられた円に正方形を外接すること」
与えられた円をＡＢＣＤとせよ。
円ＡＢＣＤに正方形を外接することが要求されている。
互いに直角な円ＡＢＣＤの２つの直径ＡＣ、ＢＤをひきなさい。点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを通り円ＡＢＣＤと接するようにＦＧ、ＧＨ、ＨＫ、ＫＦをひきなさい。系Ⅲ．16
そのとき、ＦＧは円ＡＢＣＤと接し、ＥＡは中心Ｅから接点Ａに結ばれているので、Ａにおける角は直角である。命題Ⅲ．18
同様な理由で、点Ｂ、Ｃ、Ｄにおける角も直角である。
いま、角ＡＥＢは直角で、角ＥＢＧも直角なので、ＧＨはＡＣと平行である。命題Ⅰ．28
同様な理由で、ＡＣもＦＫと平行で、ゆえに、ＧＨもＦＫと平行である。命題Ⅰ．30
同様にして、線分ＧＦ、ＨＫのそれぞれはＢＥＤと平行であることが証明できる。
それゆえ、ＧＫ、ＧＣ、ＡＫ、ＦＢ、ＢＫは平行四辺形である。それゆえ、ＧＦはＨＫと等しく、ＧＨはＦＫと等しい。命題Ⅰ．34
そして、ＡＣはＢＤと等しく、ＡＣも線分ＧＨ、ＦＫのそれぞれと等しく、ＢＤは線分ＧＦ、ＨＫのそれぞれと等しいので、四辺形ＦＧＨＫは等辺である。命題Ⅰ．34
つぎに、それはまた直角であることをいう。
ＧＢＥＡは平行四辺形で、角ＡＥＢは直角なので、角ＡＧＢも直角である。命題Ⅰ．34
同様にして、Ｈ、Ｋ、Ｆにおける角も直角であることが証明できる。
それゆえ、ＦＧＨＫは直角である。
しかし、等辺であることも証明されていた。それゆえ、それは正方形である。それゆえ、それは円ＡＢＣＤに外接している。
それゆえ、正方形ＡＢＣＤは与えられた円に外接している。
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