Lemma1

和が平方数であるような二つの平方数を見つける。

二つの数をAB,BCとする。 AB,BCはともに偶数か奇数かのどちらかである。

このとき，偶数から偶数をひいても， 奇数から奇数をひいても残りは偶数になるので， 残りのACは偶数である。

ACはDで二等分されるとする。

ABとBCは相似な平面数か 相似な平面である平方数かのどちらかである。

AB,BCの積とCDの平方数の和はBDの平方数に等しい。

互いにかけられた二つの相似な平面数がある数をつくるならば， その積は平方数であることが前に証明されたので， そのことより，AB,BCの積は平方数である。

ゆえに，二つの平方数，すなわち，AB,BCの積とCDの平方数が見つけられ， それらを加えたとき，BDに平方数をつくる。 �U.6 �\.1

そして，二つの平方数すなわち，BDの平方数とCDの平方数が見つけられ， それらの差すなわち， AB,BCの積はAB,BCがどんな相似な平面数であっても， 平方数であることは明らかである。

しかし，AB,BCが相似な平面数でないとき， 二つの平方数すなわち，BDの平方数とDCの平方数が見つけられ， それらの差すなわちAB,BCの積は平方数でない。

Lemma2

和が平方数であるような二つの平方数を見つける。

AB,BCの積は平方数，CAは偶数とする。

このとき，AB,BCの積である平方数と CDの平方数との和はBDの平方数に等しいことが明らかである。

単位DEがひたれたとすると，
AB,BCの積とCEの平方数との和は，BDの平方数より小さい

このとき，AB,BCの積とCEの平方数の和が平方数でないことを示す。

もし，平方数であるならば，単位は分けられないので
AB,BCの積とCEの平方数の和は，BEの平方数に等しいか， BEの平方数より小さいかのどちらかであり，大きいことはない。

AB,BCの積とCEの平方数との和はBEの平方数に等しいことを示す。

もし可能ならば，GAは単位DEの二倍であるとする。

AC全体はCD全体の二倍であり， AGはDEの二倍であるので，残りのGCは残りのECの二倍である。

ゆえに，GCはEで二等分される。

よって，GB,BCの積とCEの平方数との和はBEの平方数に等しい。 �U.6

しかし，AB,BCの積と CEの平方数との和は仮定により，BEの平方数に等しい。

ゆえに，GB,BCの積とCEの平方数との和は AB,BCの積とCEの平方数との和に等しい。

共通のCEの平方数がひかれるなら，ABはGBと等しい。
これは，矛盾である。

よって，AB,BCの積と CEの平方数との和は，BEの平方数に等しくない。

次に，AB，BCの積とCEの平方数の和が BEの平方数より小さくないことを示す。

もし，可能ならば，BFの平方数に等しくHAがDFの二倍であるとする。

HCはCFの二倍であるだろう。
ゆえに，CHはFで二等分され， HB,BCの積とFCの平方数との和はBFの平方数に等しい。 �U.6

しかし，仮定により， AB,BCの積とCEの平方数との和はBFの平方数に等しい。

ゆえに，HB,BCの積とCFの平方数との和は AB,BCの積とCEの平方数との和に等しい。
これは矛盾である。

よって，AB,BCの積とCEの平方数との和は BEの平方数より小さくない。

また，AB,BCの積とCEの平方数との和は BEの平方数に等しくないことが前に証明された。

よって，AB,BCの積とCEの平方数との和は平方数でない。

命題29

大きい線分でできた正方形が小さい線分でできた正方形より 大きい線分と長さにおいて
通約可能な線分でできた正方形だけ 大きいような平方においてのみ通約可能な
二つの有理線分を見つける。

ある有理線分をAB，その差CEが平方数でないような 二つの平方数をCD，DEとおく。

AB上に半円AFBを描き，DCがCEに対するように， BAでできた正方形がAFでできた正方形に対するとする。
FBが結ばれたとする。 �].6.Cor.

BAでできた正方形がAFでできた正方形に対するようにDCはCEに対するので，BAでできた正方形は AFでできた正方形に対し数DCが数CEに対する比をもつ。

ゆえに，BAでできた正方形はAFでできた正方形と通約可能である。 �].6.Cor.

また，ABでできた正方形は有理面積である。

ゆえに，AFでできた正方形は有理面積である。

よって，AFは有理線分である。 �].Def.4

そして，DCはCEに対し，平方数が平方数に対する比をもたないので， BAでできた正方形は， AFでできた正方形に対し，平方数が平方数に対する比をもたない。

ゆえに，ABはAFと長さにおいて通約不可能。 �].9

よって，BA,AFは平方においてのみ通約可能な有理線分である。

そして，DCがCEに対するように， BAでできた正方形はAFでできた正方形に対するので， CDがDEに対するように， ABでできた正方形はBFでできた正方形に対する。 �X.19.Cor. �V.31 �T.47

また，CDはDEに対し，平方数が平方数に対する比をもつ。

ゆえに，ABでできた正方形はBFでできた正方形に対し， 平方数が平方数に対する比をもつ。
よって，ABはBFと長さにおいて通約可能 �].9

そして，ABでできた正方形はAF，FBでできた正方形の和に等しい。

ゆえに，ABでできた正方形はAFでできた正方形より ABと通約可能なBFでできた正方形だけ大きい。

証明終了