命題67
「双中項線分と通約可能な線分は双中項線分であり,順位において同じである」
CDが双中項線分でABと順位において同じであることを証明する。
ABは双中項線分なので,Eで2つの中項線分に分けられたとする。このとき,AE,EBは平方においてのみ通約可能な中項線分である。 ].37 ].38
ABがCDに対するようにAEがCFに対する。このとき,のこりのEBがのこりのFDに対するように,ABがCDに対する。 X.19
また,AEはCDと長さにおいて通約可能なので,AE,EBはCF,FDとそれぞれ通約可能である。 ].11
また,AE,EBは中項線分であるので,CF,FDは中項線分である。 ].23
AEがEBに対するようにCFがFDに対するので,AE,EBは平方においてのみ通約可能である。よって,CF,FDは平方においてのみ通約可能である。 X.11 ].11
また,CF,FDは中項線分である事が証明されていたので,CDは双中項線分である。
次に,CDがABと順位において同じである事を示す。
AEがEBに対するように,CFがFDに対するので,AEでできた正方形が長方形AE,EBに対するようにCFでできた正方形が長方形CF,FDに対する。 入れ替えて,AEでできた正方形がCFでできた正方形に対するように,AE,EBでできた長方形がCF,FDでできた長方形に対する。 X.16
また,AEでできた正方形はCFでできた正方形と通約可能である。 よって,AE,EBでできた長方形はCF,FDでできた長方形と通約可能である。
ゆえに,AE,EBでできた長方形が有理面積ならば,CF,FDでできた長方形は有理面積である。したがって,CDは第1の双中項線分であり,中項面積ならば,中項面積で線分AB,CDはそれぞれ第2の双中項線分である。 よって,CDはABと順位において同じである。 ].37 ].38
証明終了