命題66
「ある直線が二項線分と長さにおいて通約可能ならば，その直線も二項線分で順位において同じである」
CDが二項線分でABと順位において同じことを示す。
ABは二項線分なので，Eで分けられ，そしてAEの方が大きいとする。 よって，AEとEBは平方においてのみ通約可能な有理線分である Ⅹ.36
ABがCDに対するように，AEがCFに対するようにする。そのとき，残りのEB対FDもAB対CDと等しくなる。 Ⅵ.12 Ⅹ.19
ここで，ABはCDと長さにおいて通約可能。よって，AEもCFとEBもFDと通約可能である。 Ⅹ.11
そして，AE,EBは有理。よって，CF,FDも有理。
そして，AEがCFに対するようにEBがFDに対する。よって，入れ替えて，AEがEBに対するようにCFがFDに対する。
Ⅹ.11
Ⅹ.16 ここで，AEとEBは平方においてのみ通約可能。よって，CFとFDも平方においてのみ通約可能である。
Ⅹ.11 そしてそれらは有理。よって，CDは二項線分である。
Ⅹ.36 次に，CDがABと順位において同じである事を示す。 AE上の正方形はEB上の正方形より，AEと通約可能な直線上の正方形かAEと通約不可能な直線上の正方形かのどちらかだけ大きい。
そのとき，AE上の正方形がEB上の正方形より，AEと通約可能な直線上の正方形だけ大きいならば，CF上の正方形もFD上の正方形より，CFと通約可能な直線上の正方形だけ大きい。
Ⅹ.14 そして，もしAEが有理線分と通約可能ならば，そのときCFも有理線分と通約可能。そして，これゆえにAB,CDはそれぞれ第1の二項線分で，順位において同じである。
Ⅹ.12
Ⅹ.Def.Ⅱ.1 ここで，もしEBが有理線分と通約可能ならば，FDも通約可能。そしてこれよりAB,CDは第2の二項線分で順位において同じである。
Ⅹ.12
Ⅹ.Def.Ⅱ.2 ここで，AE,EBのどちらも有理線分と通約可能でないならば，CF,FDのどちらも通約可能でなく，AB,CDは第3の二項線分である。
Ⅹ.13
Ⅹ.Def.Ⅱ.3 ここで，AE上の正方形がEB上の正方形よりAEと通約不可能な線分上の正方形だけ大きいならば，そのときCF上の正方形もFD上の正方形よりCFと通約不可能な直線上の正方形だけ大きい。
Ⅹ.14 そして，AEが有理線分と通約可能ならば，CFも通約可能であり，AB,CDは第4の二項線分である。
Ⅹ.Def.Ⅱ.4 ここで，EBも有理線分と通約可能でFDも通約可能。そのときAB,CDは第5の二項線分である。
Ⅹ.Def.Ⅱ.5 ここで，AE,EBのどちらも通約不可能ならば，CF,FDも通約不可能である。よって，第6の二項線分である。
Ⅹ.Def.Ⅱ.6 よって，ある直線が二項線分と長さにおいて通約可能ならば，その直線も二項線分で順位において同じである。
証明終了