命題103
「余線分と長さにおいて通約可能な線分は余線分であり、順位において同じである」
ABを余線分とし、CDはABと長さにおいて通約可能であるとする。
CDが余線分でABと順位において同じであることを示す。
また、ABはCDと長さにおいて通約可能である。 ゆえに、AEはCF、BEはDFと通約可能である。 Ⅹ.11
AE,EBは平方においてのみ通約可能な有理線分である。 よって、CF,FDは平方においてのみ通約可能な有理線分である。 Ⅹ.13
AEがCFに対するようにBEがDFに対するので、AEがEBに対するようにCFがFDに対する。AEでできた正方形はEBでできた正方形よりAEと通約可能な線分でできた正方形または、AEと通約不可能な線分でできた正方形だけ大きい。 Ⅴ.16
AEでできた正方形がEBでできた正方形よりAEと通約可能な線分でできた正方形だけ大きいならば、CFでできた正方形はFDでできた正方形よりCFと通約可能な線分でできた正方形だけ大きい。 Ⅹ.14
そして、AEが定められた有理線分と長さにおいて通約可能ならば、CFは定められた有理線分と長さにおいて通約可能である。BEが定められた有理線分と長さにおいて通約可能ならば、DFは定められた有理線分と長さにおいて通約可能である。AE,EBが定められた有理線分と長さにおいて通約不可能ならば、CF,FDは定められた有理線分と長さにおいて通約不可能である。 Ⅹ.12 Ⅹ.13
また、AEでできた正方形がEBでできた正方形よりAEと通約不可能な線分でできた正方形だけ大きいならば、CFでできた正方形はFDでできた正方形よりCFと通約不可能な線分でできた正方形だけ大きい。 Ⅹ.14
そして、AEが定められた有理線分と長さにおいて通約不可能ならば、CFは定められた有理線分と長さにおいて通約可能である。 BEが定められた有理線分と長さにおいて通約可能ならば、DFは定められた有理線分と長さにおいて通約可能である。 AE,EBが定められた有理線分と長さにおいて通約不可能ならば、CF,FDは定められた有理線分と長さにおいて通約不可能である。 よって、CDは余線分であり、ABと順位において同じである。 Ⅹ.12 Ⅹ.13
したがって，余線分と長さにおいて通約可能な線分は余線分であり、順位において同じである。
証明終了