命題104

「中項余線分と通約可能な線分は中項余線分であり，順位において同じである」

ある中項余線分をABとし，ABと通約可能な線分をCDとする。

CDもまた中項余線分で，ABと順位において同じである事を証明する。

ABは中項余線分なので，EBがそれにたされたとする。

そのとき，AEとEBは平方においてのみ通約可能な中項線分である。 �].74 �].75

ABがCDに対するようにBEはDFに対するように描く。そのとき，AEはCFと，BEはDFと通約可能である。 �Y.12 �X.12 �].11

また，AEとEBは平方においてのみ通約可能な中項線分で，ゆえにCFとFDは平方においてのみ通約可能な中項線分である。 �].23 �].13

ゆえに，CDは中項余線分である。 �].74 �].75

次に，それがABと順位において同じである事を証明する。

AEがEBに対するようにCFはFDに対するので，ゆえにAE上の正方形が長方形AE,EBに対するようにCF上の正方形は長方形CF,FDに対する。

また，AE上の正方形はCF上の正方形と通約可能で，ゆえに長方形AE,EBは長方形CF,FDと通約可能である。 �X.16 �].11

ゆえに，もし長方形AE,EBは有理ならば，長方形CF,FDも有理である。もし長方形AE,EBは中項ならば，長方形CF,FDも中項である。

ゆえに，CDは中項余線分でABと順位において同じである。 �].74 �].75

したがって，中項余線分と通約可能な線分は中項余線分であり，順位において同じである。

証明終了

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