命題１２
「与えられた円に等辺等角な五角形を外接すること」
与えられた円をＡＢＣＤＥとせよ。
円ＡＢＣＤＥに等辺等角な五角形を外接することが要求されている。
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅを内接した五角形の角の点と考えられ、弧ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＥ、ＥＡは等しい。Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅを通り円に接するようにＧＨ、ＨＫ、ＫＬ、ＬＭ、ＭＧをひきなさい。円ＡＢＣＤＥの中心Ｆをとり、ＦＢ、ＦＫ、ＦＣ、ＦＬ、ＦＤを結びなさい。命題Ⅳ．11，系Ⅲ．16，命題Ⅲ．１
そのとき、線分ＫＬはＣで円ＡＢＣＤＥに接し、ＦＣは中心Ｆから接点Ｃに結ばれているので、ＦＣはＫＬと垂直である。それゆえ、Ｃにおける角のそれぞれは直角である。命題Ⅲ．18
同様な理由で、Ｂ、Ｄにおける角も直角である。
そして、角ＦＣＫは直角なので、ＦＫ上の正方形はＦＣ、ＣＫ上の正方形の和と等しい。同様な理由で、ＦＫ上の正方形はまたＦＢ、ＢＫ上の正方形の和と等しい。したがって、ＦＣ、ＣＫ上の正方形の和はＦＢ、ＢＫ上の正方形の和と等しく、そのうちのＦＣ上の正方形はＦＢ上の正方形と等しいので、残りのＣＫ上の正方形は残りのＢＫ上の正方形と等しい。命題Ⅰ．47
それゆえ、ＢＫはＣＫと等しい。
そして、ＦＢはＦＣと等しく、ＦＫは共通なので、２辺ＢＦ、ＦＫは２辺ＣＦ、ＦＫと等しく、底辺ＢＫは底辺ＣＫと等しいので、角ＢＦＫは角ＣＦＫと等しく、角ＢＫＦは角ＣＫＦと等しい。それゆえ、角ＢＦＣは角ＫＦＣの２倍で、角ＢＫＣは角ＦＫＣの２倍である。命題Ⅰ．８
同様な理由で、角ＣＦＤも角ＣＦＬの２倍で、角ＤＬＣも角ＦＬＣの２倍である。
いま、弧ＢＣはＣＤと等しいので、角ＢＦＣも角ＣＦＤと等しい。命題Ⅲ．27
そして、角ＢＦＣは角ＫＦＣの２倍で、角ＤＦＣは角ＬＦＣの２倍なので、角ＫＦＣも角ＬＦＣと等しい。
しかし、角ＦＣＫも角ＦＣＬと等しいので、ＦＫＣ、ＦＬＣは２角が２角と等しく、１辺が１辺と等しい、つまりそれらと共通であるＦＣが等しいことをもつ２つの三角形である。それゆえ、それらは残りの辺は残りの辺と等しく、残りの角は残りの角と等しいことももつであろう。それゆえ、線分ＫＣはＣＬと等しく、角ＦＫＣは角ＦＬＣと等しい。命題Ⅰ．26
そして、ＫＣはＣＬと等しいので、ＫＬはＫＣの２倍である。
同様な理由で、ＨＫもＢＫの２倍であることが証明できる。
そして、ＢＫはＫＣと等しいので、ＨＫもＫＬと等しい。
同様にして、線分ＨＧ、ＧＭ、ＭＬのそれぞれも線分ＨＫ、ＫＬのそれぞれと等しいことが証明できる。それゆえ、五角形ＧＨＫＬＭは等辺である。
つぎに、等角であることをいう。
角ＦＫＣは角ＦＬＣと等しく、角ＨＫＬは角ＦＫＣの２倍で、角ＫＬＭは角ＦＬＣの２倍であることが証明されていた。それゆえ、角ＨＫＬも角ＫＬＭと等しい。
同様にして、角ＫＨＧ、ＨＧＭ、ＧＭＬのそれぞれも角ＨＫＬ、ＫＬＭのそれぞれと等しいことが証明できる。それゆえ、５つの角ＧＨＫ、ＨＫＬ、ＫＬＭ、ＬＭＧ、ＭＧＨは互いに等しい。
それゆえ、五角形は等角である。
そして、それは等辺であることも証明されていた。そして、それは円ＡＢＣＤＥに外接している。
作業終了