命題１１
「与えられた円に等辺等角な五角形を内接させること」
与えられた円をＡＢＣＤＥとせよ。
円ＡＢＣＤＥに等辺等角な五角形を内接させることが要求されている。
Ｇ、Ｈにおける角のそれぞれがＦにおける角の２倍である二等辺三角形ＦＧＨをつくりなさい。命題Ⅳ．10
三角形ＦＧＨに等角な三角形ＡＣＤを円ＡＢＣＤＥに内接し、角ＣＡＤ、ＡＣＤ、ＣＤＡがＦ、Ｇ、Ｈにおける角とそれぞれ等しくなるようにしなさい。命題Ⅳ．２
それゆえ、角ＡＣＤ、ＣＤＡのそれぞれも角ＣＡＤの２倍である。
いま、線分ＣＥ、ＤＢで角ＡＣＤ、ＣＤＡのそれぞれを２等分し、ＡＢ、ＢＣ、ＤＥ、ＥＡを結びなさい。命題Ⅰ．９
そのとき、角ＡＣＤ、ＣＤＡのそれぞれは角ＣＡＤの２倍で、それらは線分ＣＥ、ＤＢで２等分されているので、５つの角ＤＡＣ、ＡＣＥ、ＥＣＤ、ＣＤＢ、ＢＤＡは互いに等しい。
しかし、等しい角は等しい弧の上に立つので、５つの弧ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＥ、ＥＡは互いに等しい。命題Ⅲ．26
しかし、等しい弧で切り取られた弦は等しいので、５つの弦ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＥ、ＥＡは互いに等しい。それゆえ、五角形ＡＢＣＤＥは等辺である。命題Ⅲ．29
つぎに、それは等角であることをいう。
弧ＡＢは弧ＤＥと等しいので、おのおのにＢＣＤを加えなさい。それゆえ、弧ＡＢＣＤ全体は弧ＥＤＣＢ全体と等しい。
そして、角ＡＥＤは弧ＡＢＣＤ上に立っていて、角ＢＡＥは弧ＥＤＣＢ上に立っているので、角ＢＡＥも角ＡＥＤと等しい。命題Ⅲ．27
同様な理由で、角ＡＢＣ、ＢＣＤ、ＣＤＥのそれぞれも角ＢＡＥ、ＡＥＤのそれぞれと等しいので、五角形ＡＢＣＤＥは等角である。
しかし、それは等辺であることも証明されていた。それゆえ、等辺等角な五角形が与えられた円に内接している。
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