命題２１
もし、２つの数の間に２つの比例中項数があるならば、そのとき、その数は相似な立体数である。
２つの数AとBの間にCとDの２つの比例中項数があるとせよ。
AとBは相似な立体数であると主張する。
A、C、Dと同じ比をもつ数の中で最小の３つの数E、F、Gをとる。propositionⅦ３３、propositionⅧ２
そのとき、それらの外項EとGは互いに素である。propositionⅧ３
今、EとGの間に１つの比例中項数Fがあるので、それゆえに、EとGは相似な平面数である。propositionⅧ２０
そのとき、HとKをEの辺、LとMをGの辺とせよ。
この前の定理から、E、F、Gは、HがLに対し、また、KがMに対する比で連続して比例することは明白である。
今、E、F、GはA、C、Dと同じ比をもつ数の中で最小の数でE、F、Gの個数は、A、C、Dの個数と等しいので、それゆえに、等間隔比よりEはGに対して、AはDに対する。propositionⅦ１４
しかし、EとGは互いに素で、素数は最小で、最小の数は同じ比をもつ数を割り切り、同じ商で、大きいほうは大きいほうを、小さいほうは小さいほうを割り切り、つまり、前項は前項を、後項は後項を割り切り、それゆえに、EはAを割り切り、GはDを割り切る商と同じである。propositionⅦ２１、propositionⅦ２０
EがAを割り切った商と同じだけNの中に単位があるとせよ。
そのとき、NはEをかけられてAを作る。
しかし、EはHとKの積である。
それゆえに、NはHとKの積をかけられてAを作る。
それゆえに、Aは立体数でH、K、Nはその辺である。
再び、E、F、GはC、D、Bと同じ比をもつ数の中で最小の数なので、それゆえに、EはCを割り切り、その商はGがBを割り切ったものと同じである。
EがCを割り切った商と同じだけOの中に単位があるとせよ。
そのとき、GはBを割り切り、その商はOの中にある単位である。
それゆえに、OはGをかけられてBを作る。
しかし、GはLとMの積である。
それゆえに、OはLとMの積をかけられてBを作る。
それゆえに、Bは立体数でLMOはその辺である。
それゆえに、AとBは立体数である。
それらが相似でもあると主張する。
NとOはEをかけられてAとCを作るので、それゆえに、NはOに対して、AはCに対し、つまり、EはFに対する。propositionⅦ１８
しかし、EはFに対して、HはLに対し、KはMに対する。
それゆえに、HはLに対してKはMに対し、NはOに対する。
また、H、K、NはAの辺で、O、L、MはBの辺である。
それゆえに、AとBは相似な立体数である。
それゆえに、もし、２つの数の間に２つの比例中項数があるならば、そのとき、その数は相似な立体数である。
証明終了