命題１５
「与えられた円に等辺等角な六角形を内接させること」
与えられた円をＡＢＣＤＥＦとせよ。
円ＡＢＣＤＥＦに等辺等角な六角形を内接させることが要求されている。
円ＡＢＣＤＥＦの直径ＡＤをひきなさい。円の中心Ｇをとりなさい。
中心Ｄ、半径ＤＧをもつ円ＥＧＣＨをかきなさい。
ＥＧ、ＣＧを結び、点Ｂ、Ｆまでそれらを延長しなさい。ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＥ、ＥＦ、ＦＡを結びなさい。
六角形ＡＢＣＤＥＦは等辺等角であることをいう。
点Ｇは円ＡＢＣＤＥＦの中心なので、ＧＥはＧＤと等しい。
また、点Ｄは円ＧＣＨの中心なので、ＤＥはＤＧと等しい。
しかし、ＧＥはＧＤと等しいことが証明されていた。それゆえ、ＧＥもＥＤと等しい。それゆえ、三角形ＥＧＤは等辺である。そして、その３角ＥＧＤ、ＧＤＥ、ＤＥＧは互いに等しい。なぜなら、二等辺三角形の底辺における角は互いに等しい。命題Ⅰ．５
そして、三角形の３角の和は２直角と等しいので、角ＥＧＤは２直角の１/３である。命題Ⅰ．32
同様にして、 角ＤＧＣも２直角の１/３であることが証明できる。
そして、ＥＢ上に立っている線分ＣＧは接角ＥＧＣ、ＣＧＢの和を２直角と等しくさせるので、残りの角ＣＧＢも２直角の１/３である。
それゆえ、角ＥＧＤ、ＤＧＣ、ＣＧＢは互いに等しい。したがって、それらの対頂角ＢＧＡ、ＡＧＦ、ＦＧＥは等しい。命題Ⅰ．15
それゆえ、６角ＥＧＤ、ＤＧＣ、ＣＧＢ、ＢＧＡ、ＡＧＦ、ＦＧＥは互いに等しい。
しかし、等しい角が等しい弧の上に立っているので、６つの弧ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＥ、ＥＦ、ＦＡは互いに等しい。命題Ⅲ．26
そして、等しい弧を切り取る弦は等しいので、６線分は互いに等しい。それゆえ、六角形ＡＢＣＤＥＦは等辺である。命題Ⅲ．29
つぎに、それはまた等角であることをいう。
弧ＦＡは弧ＥＤと等しいので、おのおのに弧ＡＢＣＤを加えなさい。それゆえ、ＦＡＢＣＤ全体はＥＤＣＢＡ全体と等しい。
そして、角ＦＥＤは弧ＦＡＢＣＤ上に立っていて、角ＡＦＥは弧ＥＤＣＢＡ上に立っているので、角ＡＦＥは角ＤＥＦと等しい。命題Ⅲ．27
同様にして、六角形ＡＢＣＤＥＦの残りの角も１つずつ角ＡＦＥ、ＦＥＤのそれぞれと等しいことが証明できる。それゆえ、六角形ＡＢＣＤＦは等角である。
しかし、等辺であることも証明されていた。そして、それは円ＡＢＣＤＥＦに内接している。
それゆえ、等辺等角な六角形は与えられた円に内接している。
作業終了
系
このことから、六角形の辺は円の半径と等しいことが明らかである。
そして、この前の五角形の場合のように、円周上の区分点を通って円の接線をひくならば、五角形の場合にいわれたように等辺等角な六角形が円に外接させるであろう。
そして、さらに、五角形の場合にいわれたように、与えられた六角形に円を内接したり外接させることができる。