命題92
「もし，面積がある有理線分と第2の余線分によって囲まれるならば，それに等しい正方形の辺は第1の中項余線分である」
面積ABは，ある有理線分ACと第2の余線分ADによって囲まれるとする。
面積ABに等しい正方形の辺は第1の中項余線分である事を証明する。
ゆえに，AGは直線AF，FGと長さにおいて通約可能である。 Ⅹ.15
またAGは有理で，ACと長さにおいて通約不可能な有理線分で，よって直線AFとFGはともにACと長さにおいて通約不可能な有理線分である。 ゆえに，長方形AIとFKはともに中項面積である。 Ⅹ.13 Ⅹ.21
また，DEはEGと通約可能なので，ゆえにDGは直線DE,EGの両方ともと通約可能である。 Ⅹ.15
ところが，DGはACと長さにおいて通約可能である。
ゆえに，長方形DHとEKはともに有理。 Ⅹ.19
AIに等しい正方形LMがつくられ，FKに等しく，LMと同じ角，すなわち角LPMをはさむNOが引かれたとする。そのとき，正方形LMとNOは同じ対角線をはさんでいる。 Ⅵ.26
その対角線をPRとし，図を描く。
AIとFKは中項で，LP上，PN上の正方形に等しいので，LP上，PN上の正方形はともに中項である。 ゆえに，LPとPNは平方においてのみ通約可能な中項線分である。
長方形AF,FGはEG上の正方形に等しいので，ゆえに，AFがEGに対するようにEGはFGに対し，AFがEGに対するようにAIはEKに対し，EGがFGに対するようにEKはFKに対する。ゆえに，EKは，AIとFKの比例中項である。 Ⅵ.17 Ⅵ.1 Ⅴ.11
また，MNはLMとNOの比例中項であるので，AIはLMに等しく，FKはNOに等しく，ゆえにMNはEKに等しい。
また，DHはEKに等しく，LOはMNに等しく，ゆえに全体のDKはグノーモンUVWとNOの和に等しい。
そのとき，全体のAKはLMとNOの和に等しく，DKはグノーモンUVWとNOの和に等しいので，残りのABはTSに等しい。
TSはLN上の正方形であり，ゆえにLN上の正方形は面積ABに等しい。ゆえに，LNは面積ABに等しい正方形の辺である。
次に，LNが第1の中項余線分である事を証明する。
EKは有理でLOに等しいので，ゆえにLOすなわち長方形LP,PNは有理である。
また，NOは中項である事がすでに証明されたので，LOとNOは通約不可能である。
また，LOがNOに対するようにLPはPnに対し，ゆえにLPとPNは長さにおいて通約不可能である。 Ⅵ.1 Ⅹ.11
ゆえに，LPとPNは平方においてのみ通約可能な中項線分で，有理な長方形に含まれる。ゆえに，LNは第1の中項余線分である。 Ⅹ.74
そして，それは面積ABに等しい正方形の辺である。 よって，面積ABに等しい正方形の辺は第1の中項余線分である。 したがって，面積がある有理線分と第2の余線分によって囲まれるならば，それに等しい正方形の辺は第1の中項余線分である。
証明終了